第1章 第4讲 基本不等式（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第4讲　基本不等式 1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等. [知识梳理] 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时，等号成立． (3)其中　　叫做正数a，b的算术平均数，　　叫做正数a，b的几何平均数． [注意] 应用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则有以下结论： (1)如果积xy等于定值P，那么当__x＝y__时，和x＋y有最小值　2　(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y等于定值S，那么当__x＝y__时，积xy有最大值　　(简记：和定积最大)． [注意] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致． 常用结论　 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤2成立的条件是ab>0.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析　xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C项． 3．已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 答案　D 解析　由题意得x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D项． 4．设0<x<1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为________. 解析 y＝2x(1－x)≤22＝，当且仅当x＝1－x， 即x＝时，等号成立． 答案 5．函数y＝(x>0)的最大值为________. 解析 y＝＝≤，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 答案 考点一　利用基本不等式求最值…………多维探究 技法一　拼凑法求最值 【例1】 (1)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________. (2)已知0<x<1，则当x(4－3x)取得最大值时x的值为________. 解析 (1)因为x>，所以4x－5>0，所以f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5＝，即x＝时，等号成立． (2)x(4－3x)＝·3x(4－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立． 答案 (1)5　(2) 解题技巧　 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 技法二　常数代换法求最值 【例2】 (2022·东北联考)设a>0，b>0，若2a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　方法一　＋＝(2a＋b)＝≥＝4，当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立．故选B项． 方法二　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立．故选B项． 解题技巧　 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值． (2)把确定的定值变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 技法三　消元法求最值 【例3】 已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________. 解析 由ab－b＋1＝0可得a＝，由a＝>0且b>0得b>1，所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9，当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时，等号成立，故＋4b的最小值是9. 答案 9 解题技巧　 利用消元法求最值的技巧 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解，有时会出现多元的