1.1 集合的概念与表示-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

1.1 集合的概念与表示 一、元素与集合的概念 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 二、元素的特性 1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 利用集合中元素的特异性求参数： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合的关系 1、属于与不属于概念： （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、元素与集合关系的判断方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 四、常用的数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开； （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复； （4）集合中的元素可以是任何事物． 六、描述法 1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 2、用描述法表示集合 （1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型． 一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． （2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． （3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． 七、集合的分类 根据集合中元素的个数，集合可以分为有限集和无限集 1、含有有限个元素的集合叫做有限集； 2、含有无限个元素的集合叫做无限集； 3、不含任何元素的集合叫做空集，记作. 题型一 集合概念的理解 【例1】以下元素的全体能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【解析】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；故选：A 【变式1-1】下列各组对象能构成集合的是（ ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 【答案】B 【解析】选项A，C不满足集合的确定性； 集合B正方形是确定的，故能构成集合； 选项D不满足集合的互异性．故选：B． 【变式1-2】下列选项能组成集合的是（ ） A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人 【答案】B 【解析】著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合； 英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合； 非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合； 勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.故选：B． 【变式1-3】下列所给的对象能组成集合的是（ ） A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 【答案】A 【解析】A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确； B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.故选：A. 【变式1-4】下列说法中正确的是（ ） A．与定点A，B等距离的点不能