第20讲 勾股定理（二）-2022-2023学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

.∴.2BD·CD=2AD. △BPC绕点B逆时针旋转60得到△BEA,连接EP. .AD=BD·CD. .BE=BP=4,AE=PC=5, (2)设BD=a,CD=b.由(1)得ab=AD, ∠PBE=60°， ..AD=ab. △BPE为等边三角形， 如图，取BC的中点E,连接AE ∴.PE=PB=4,∠BPE=60° AE≥AD,当且仅当E,D重 为 在△AEP中，AE=5,AP=3,PE=4, 合时取等号，此时a=b, ..PE?+PA2=AE2. 又AE-2BC-生， ∴.△APE为直角三角形，且∠APE=90°， 2 ED ∴.∠APB=∠APE+∠BPE=90°+60°=150. 士>品，当且仅当=6时取等号。 【变式题组】 (3).'a,b,c0b2ab+ac+bc=4, 变式11D提示：，1十2=3，不能构成三角形，故A错误； .∴.b(a+b)+c(a+b)=4,即(a+b)(b+c)=4. 12十12=(2)2，∴三角形为等腰直角三角形，故B 而a+2b+c=(a+b)+(b+c)≥2√/(a+b)(b+c)= 错误； 2√4=4， 由底边上的高是V1-(密)-分，“这个三角形 ∴a十2b十c的最小值为4，当且仅当a十b=b+c, 是顶角为120°，底角为30°的等腰三角形，故C错误： 即a=c时成立， 第20讲勾股定理（二） ,12十(5)2=22，这个三角形是三个角分别为 30°，60°，90的直角三角形，符合“智慧三角形”的定义， 例1(1)如图1，连接AC,易知AC=AB+BC=22, 故D正确. 且AD2+AC2=10=CD2. 变式12(1)如图1，△ABC即为所求. ∴.∠DAC=90°..∠DAB=135° (2)如图2，△DEF即为所求. ,DE+EF=(W5)2+(2√5)2=5=DF, ∴·△DEF是直角三角形 ÷5am=2DEEF=-7×5X25=5. 图1 图2 (2)如图2，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点 E,连接AC,则 DE=AE=1. ∴.BD=BE2+DE=￥32+1P=/10. 例2152+1122=1132. 图1 图2 例3B提示：对于①，a2十=2，即两边之和等于 变式21B提示：“三角形数”1,3,6,10，…，可写成1， 第三边，不能构成三角形，故①错： 1+2,1+2+3,1+2+3+4,；“正方形数”1,4,9， 对于②，，(a)2+(b)2=a十b>c=(),故②错； 16,…,可写成12,22,32,4，….故第n个三角形数为 对于③，由面积公式知ab=ch, 1十2十…十n=n1;第n个正方形数为n.放第 .1c2 a2=c2h,小京=产8· n一1个三角形数与第n个三角形数之和为第1个正方 证城是+京放@对 形数，形式为2n2D+nnD=m.当n=9时，36+ 2 2 例4△ABC是等边三角形，.BA=BC.如图，将 45=81 58 四式22（1)π^2-1，2n，n^2+1.于点E，过点D作DF⊥DA交AB延长线于点F，连接 （2)以a，bc为边的三角形是直角三角形。理由如下：BD.CF，则AE=BE=4，DE=3， ∵a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n'-2n^2+1+4n^2=(n+∴BD=5. 1)^2=c^2，∴△CBD为等腰直角三角形． ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形。∴BC=5\sqrt{2}. 变式31c=提示：①∵7不能表示为两个正整数的平方易证△ABD≌△FCD(SAS)， 和，∴7不是广义勾股数，故①正确．∴AB=CF=4\sqrt{2}．∴∠AFC=90°° ②∵13=2^2+33，∴13是广义勾股数，故②正确。AC=\sqrt{130}. ③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和【能力平台】 10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故B ③错误。 ④设m_1=a^2+b^2，m_2=c^2+d^2， 囚B提示：延长AD，BC交于点E，则 在Rt△ABE中，∠E=30^°，∠A= 则m_1·m_2=(a^2+b^2)(c^2+d^2） 60^°，且AB=3， =(ac^2+b^d+2abcd)+(a^d+b^c-2abxd) ∴AE=6，BE=3\sqrt{3}，又BC=\sqrt{3}，120∘ =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2∴CE=2\sqrt{3}，A一3-“B 当a=c，b=d时，ad-bx=0，∴CD=\sqrt{3}，DE=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3， 。∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数。∴AD=6-3=3. 如2和2都是广义勾股数，但2×2=4，4不是广义勾日10．提示：S_Δgn=24.S_1FH=24×4+2×2=100. 股数，