第19讲 勾股定理（一)-2022-2023学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

又原式有意义，得(b-3)(a+2)≥0， x+1-x-1 .(b-3)(a+2)=0.而b-3<0, [(+1+/+1)x-1D+(红-1)](+1-.x-1) '.a=一2，a+b=4,得b=0,故原式=2. /+I--1 2 面D提示：原式=√2+1) √(2-1) √(3+22)2√(3-2W2)2 1-98江22)海酒 2 2 =2+12-1 3+223-2v2 f(99)=91000-998 =(w2+1)X(3-22)-(w2-1)X(3+2/2) ∴.f(1)+f(3)+…+f(2k-1)+…+f(999) =3/2-4+3-22-3/2-4+3+2/2 =江000 2 =-2. =5. 24.提示：设√-xy-√xy-y=t, 第19讲勾股定理（一） 则(x2-xy)-(xy-y2)=9t, 例1D提示：如图，当AB是斜边时，则第C 即x2-2xy十y2=9t=(.x-y)2=36,.t=4 三个顶点所在的位置有C,D,E,H四 即√x2-xy-√xy-y=4. H 个：当AB是直角边，点A是直角顶点 因0.提示：由x=6-行4亚得b-2x=V你-42. 时，第三个顶点是点F;当AB是直角 2 边，点B是直角顶点时，第三个顶点是点G.因而共有 即-4bx+4.x2=-412, 6个满足条件的顶点. ∴.x2-bx+103=0. 例2C提示：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, 14由①得y2-x2=-xy-y2, ∴∠B=∠C=45. 由②得22=x2十y2,2-y2=x2, +-正=+y必_红=(=以 由折叠可知EF⊥AB,BE=AE,AF=BF, 2yz 2yz ∴∠B=∠BAF=45°. =,= .∠AFB=90°，即AF⊥BC y ∴F是BC的中点. ∴.BC=2BF 之 ,在△ABF中，∠AFB=90°，BE=AE, x之 BE=EF=是.∴BF=3y9 2 2· ..BC=3v2. ⑤化简x与y得x=(√n+1-m)2=2m十1-2√n(n+1D, 例32√I3.提示：如图，将△ADC绕点A逆时针旋转 y=(√n+1+)2=2十1+2、n(m+1), 90得到△AEF, .x十y=4n+2,xy=(√n+I-n)2(n+1+n)2= 连接CF,BF,可得等腰Rt△ACF. [(、n+I+n)(n+1-n)]=1. 将xy=1代入方程，化简得x2+y=98. .(x+y)2=x2+y2+2xy=98+2×1=100. .x+y=10. ∴.4n十2=10，解得n=2. :∠DAE=90°， 1 因/)=x+V+x+x-D+/-V .∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠CAF+∠CAE =∠EAF. 54 AD-AE, AD的长为正整数， 在△ADC和△AEF中，∠DAC=∠EAF, .AD=3或4（点E左、右各有一 AC-AF, 点使得AD=4). D .△ADC≌△AEF(SAS). ∴点D的个数共有3个 .EF=DC=4.∠ADC=∠AEF=45. 变式12A提示：在Rt△DCB中，DC:CB=1:3, .∠BEF=90° ∴CD=4,故CD=CD=4 3 3 .∴.BF=￥BE+EF=2w1I3. ,∠BAF=360°-∠BAC-∠CAF=135°， 在Rt△DEC中，DC:DE=3:2, ∴.∠BAF=∠BAC DE=4X2=8 333 (AB=AB. 变式13，折痕为EF,.DE=BE,∠DEF=∠BEF. 在△ABC和△ABF中，∠BAC=∠BAF, ,四边形ABCD为长方形， AC-AF, AD∥BC..∠DEF=∠BFE .△ABC≌△ABF(SAS). ∠BEF=∠BFE.∴BF=BE .BC=BF=2/13. 设DE=x,则AE=AD-DE=9-x,BE=DE=x. 例4如图，延长FD至点G,使得FD=DG,连接EG,BG, 在Rt△ABE中，∠A=90°，∴.BE=AB+AE. 则ED垂直平分FG,故EF=EG x2=32+(9-x)2..x=5,即BE=DE=5, 由BD=CD,∠BDG=∠CDF,DF= ..BF=BE=5. DG可得△BDG≌△CDF, 如图，作EG⊥BC于点G, ∴.∠GBD=∠C=60°，BG=CF=2. 则EG=AB=3,BG=AE=9- ∴.∠EBG=60°+60°=120°. x=9-5=4. 过点E作EH⊥BG交GB的延长线于点H, .GF=BF-BG=5-4=1. ∴∠EBH=60,BH=2BE=2. 在Rt△EGF中，∠EGF=90°， .EF=EG+GF=32+1平=10. ,∴.在Rt△BEH中，HE=2w3. 变式21(1)：∠DAC=∠EAB=60°， ∴.在Rt△EHG中，EG=VEP+HG=27. .∠DAC+∠BAC=∠