第03讲 两条直线的平行与垂直-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程 第03讲 两条直线的平行与垂直 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件； 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直； 3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用 1.直线的平行判断 2.直线的垂直判断 ( 知识精讲 ) 知识点01 直线的平行 1.通过斜率判断直线的平行 对于两条不重合的直线,其斜率分别为,当. 注意: (1)成立的前提条件是: (1)两条直线的斜率都存在; (2)与不重合. (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是,则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:或斜率都不存在. 总结: 类型 斜率存在 斜率不存在 直线倾斜角 关系 两直线斜率都不存在 图例 2.通过直线一般式判断直线的平行 对于直线,直线..斜率存在时.当斜率不存在时,. 证明:对于直线,直线 (1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和. 且.即且. (2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则,所以两条直线斜率都不存在.所以,且. 综上:的等价条件为.斜率存在时.当斜率不存在时, . 【即学即练1】 若直线与直线平行，则实数等于（        ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】 因为直线与直线平行，所以，解得.故选：B. 【即学即练2】 过点且与直线平行的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题可得，设平行于直线的直线的方程为，因为直线过点， 所以，解得，所以直线的方程为.故选：D. 【即学即练3】 直线与直线的位置关系是（       ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】C 【解析】 直线可化为，所以直线与直线的位置关系是重合. 故选：C 知识点02 直线的垂直 1.通过斜率判断直线的垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于;反之,如果它们的斜率之积等于, 那么它们互相垂直,即. 注意: (1)成立的前提条件是:①②两条直线的斜率都存在;②且. (2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直. (3)判定两条直线垂直的一般结论为: 或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零. 2.通过直线一般式判断直线的垂直 对于直线,直线.. 证明:对于直线,直线 (1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和. .即. (2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以. 当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以.因此满足斜率不存在的情况. 综上: 的等价条件为即. 【即学即练4】 直线与直线垂直，则的值为（       ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【解析】 由题意，得，解得.故选：B. 【即学即练5】6．过点且垂直于直线的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为，化为一般式为．故选：A． 知识点03 直线的直线系方程 具有某一种共同属性的一族直线称为直线系,其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参 数,常见的直线系方程有以下几类: 平行直线系方程: 直线中,当斜率一定而变动时,表示平行直线系方程,与直线平行的直线系方程是是参变量 垂直直线系方程: 与直线不同时为0)垂直的直线系方程是是参变量 过定点的直线系方程: 经过定点的直线系方程为)(除直线外),其中是待定系数;经过定点 的直线系方程为,其中,是待定系数 【即学即练6】已知直线 . (1)求经过点且与直线平行的直线的方程; (2)求经过点且与直线垂直的直线的方程. 【解析】由题意设直线 的方程为 , 因为直线经过点,所以 0 ,解得.则直线的方程为. (2)由题意设直线的方程为,因为直线经过点,所以,解得,则直线的方程为. 【即学即练7】 已知点是直线外一点,则方程表示 A. 过点且与垂直的直线 B. 过点且与平行的直线 C. 不过点且与垂直的直线 D. 不过点且与平行的直线 【答案】B 【解析】方程可化简为,所以直线必过点.与的斜率相同, 因此表示过点且与平行的直线 知识点04 直线的方向向量与法向量 如图,设是直线上不同的两点,直线上 的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量. 直线的一个方向向量的坐标是. 当直线时,直线的方向向量称为直线的法向量.对于 直线不同时为0),则 .从而得,即向量与向量平行,与向量垂直,因此,向量是直线的一个方向向量,向量是直线的一个法向量. 【即学即练8】 直线的方向向量为（