专题14 空间向量与立体几何（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题14 空间向量与立体几何（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密 （全国通用） 考向一 线面平行、垂直 【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科） 【母题题文】 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【试题解析】【详解】解：在正方体中，且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则，， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量为，则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线. 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 【命题意图】本题主要考查线面平行、垂直的证明. 【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型． 常见的命题角度有： （1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明. 【得分要点】 （1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理； （2）利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理. 考向二 线面夹角 【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科） 【母题题文】 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【试题解析】【小问1详解】 因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道中档题. 【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题. 【得分要点】 （1） 找斜线在平面中的射影； （2） 求斜线与其射影的夹角； （3） 建立空间直角坐标系，利用空间向量求夹角. 一、单选题 1．（山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点， 所以， 因为M为BC中点，N为AD中点， 所以有， ， 根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为， 故选：B 2．（2022·广东汕尾·高二期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值. 【详解】 ，故，，，即 故选：. 3．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 设出的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D；举例说明判断C作答. 【详解】 设平面的法向量分别为， 对于A，由得，，，而，则，有，即，于是得，A正确； 对于B，因，则，令直线的方向向量为，又，于是得，有，，B正确； 对于C，三棱柱的三个侧面分别视为平面， 显然平面平面，平面，有， 即满足C中命题的条件，但平面与平面相交，C不正确； 对于D，因，则，因此，向量共面于平面，令直