专题15 离散型随机变量及其分布（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题15 离散型随机变量及其分布（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 离散型随机变量分布列与期望 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望. 【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现，题型多样，思路灵活，试题难度不大，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）离散型随机变量分布列；（2）离散型随机变量期望；（3）离散型随机变量方差. 【得分要点】 （1）正确写出离散型随机变量的所有取值； （2）正确利用相应的概率模型求出各自的概率； （3）根据期望公式求出数学期望. 一、单选题 1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知随机变量，若，则（       ） A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】 因为，所以，所以． 故选:C． 2．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答. 【详解】 因，且，则有，即， 不等式为：，则，， 所以，，A，B，D均不正确，C正确. 故选：C 【点睛】 关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键. 3．（2022·浙江·三模）设，随机变量的分布列是 0 p 1 P 则当p在区间内增大时，（       ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，令，求导确定单调性即可. 【详解】 ， ，令，则，易得单调递减， 又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小. 故选：D. 4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（       ） A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023 【答案】B 【解析】 【分析】 随机变量服从正态分布，依据正态曲线的性质去求即可 【详解】 随机变量服从正态分布， 若，则依据正态曲线的性质有 故选：B 5．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 结合题意，，此时Poisson分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可 【详解】 由题， ，，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为 故选：A 6．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望． 【详解】 解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球， 从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为， 的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3