2.1.3 方程组的解集 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.1.3 方程组的解集 一、方程组的解集与表示 1、方程组的解集：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程解集得到的交集称为这个方程组的解集。 2、二元一（二）次方程组的解集表示方法为：，其中，为确定的实数。 三元一次方程组解集的表示方法为：，其中，，为确定的实数。 一、二元一次方程组 1、定义：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 2、二元一次方程组的解法： （1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 （2）加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。 三、二元二次方程组 1、定义：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称为二元二次方程组。 2、解二元二次方程组的思路：消元和降次。 四、三元一次方程组 1、定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 2、三元一次方程组的解法： （1）先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数， 再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的。 （2）当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数， 此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解。 3、解三元一次方程组时要特别注意： （1）三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； （2）解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确。 题型一 解二元一次方程组 【例1】方程组的解集是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由得：， 方程组的解集为.故选：C. 【变式1-1】(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得， 解集用集合表示为：或.故选：B D. 【变式1-2】若关于，的方程组的解集为，则（ ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】D 【解析】∵关于，的方程组的解集为， ∴，解得，，∴.故选：D. 【变式1-3】关于，的方程组的解集，不正确的说法是（ ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 【答案】A 【解析】当时，与重合， 解集是 无限集，则D正确； 当时，有单元素集合，则B，C正确；故选：A 【变式1-4】若，则的值为_______. 【答案】-1 【解析】， 两式相加可得：，故答案为：-1 题型二 解二元二次方程组 【例2】方程组的解集是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 所以方程组的解集是，故选：D 【变式2-1】解方程组：. 【答案】或 【解析】依题意，则， ，解得或. 所以方程组的解为：或 【变式2-2】若相异两实数x，y满足，则之值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】两式作差消元得：， 反代回去得：，同理可得：， 由同构及韦达定理有： 继而有：.故选：D 【变式2-3】求方程组的解集. 【答案】 【解析】由题设，，整理有，可得， 代入，可得， ∴方程组的解集为. 【变式2-4】解方程组 【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}. 【解析】由x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0， 所以x＋y＝0或x－y－5＝0， 所以原方程组可化为两个方程组： 或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 或或或， 所以原方程组的解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}. 题型三 解三元一次方程组 【例3】方程组的解集的是（ ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【答案】A 【解析】由题意 将第一个式子分