2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、一元二次方程 1、定义：形如的方程称为一元二次方程，其中，，是常数，且。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解； （2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解； （3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解； （4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。 3、一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式， 通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 此时，方程的解集为： （3）当<0时，一元二次方程没有实数根。 此时，方程的解集为 二、一元一次方程根与系数的关系 1、一元二次方程根与系数的关系： 如果的两根、，那么， 2、应用一元二次方程根与系数的关系时，常有一下变形： （1） （2） （3） 题型一 一元二次方程的解集 【例1】方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程，可得方程，解得或， 所以或，即方程的解集为.故选：C. 【变式1-1】集合________． 【答案】 【解析】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 【变式1-2】方程的解集为______________. 【答案】，． 【解析】令，则， 原方程化为，解得（舍或， 即，得，解得或． 即方程的解集为，． 【变式1-3】方程的实数根是_______________． 【答案】 【解析】∵， ∴ ， 令可得，， ∴ ，∴ 或， 由可得，方程无实数解， 由可得，方程的解为. 【变式1-4】求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）令，原方程化为，解得或． 当时，， 即，，此方程无解． 当时，，即，解得或． 所以原方程的解集为． （2）令，原方程化为， 即，解得或． 当时，即，，此方程无解． 当时，即，解得或， 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解集为． （3）令方程化为， 解得或（舍）． 由得，即， 解得或， 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解集为． 题型二 一元二次方程根的分布问题 【例2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有两个不相等的实数根 【变式2-1】已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题意得：. 【变式2-2】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】的两个根都大于 ，解得 可求得实数的取值范围为 【变式2-3】已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】设两个正实数根分别为， . 【变式2-4】若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为__． 【答案】 【解析】由题意，关于的方程的一根大于1，另一根小于1， 设，根据二次函数的性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 题型三 根与系数的关系 【例3】若关于x的方程的两根分别是，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为是方程的两根， 所以 所以，故选：C 【变式3-1】若是方程的两个根，则( ) A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为是方程的两个根， 所以由根与系数之间的关系，，， 故.故选：C. 【变式3-2】若，满足，，且，则的值为（ ） A． B． C．9 D．11 【答案】A 【解析】依题可得，，为方程的两个不等实根， 所以，， 所以.故选：A. 【变式3-3】已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）结合韦达定理可知，， 所以； （2）结合韦达定理可知，. 因为，所以， 且， 由（1）知， 所以. 【变式3-4】已知方程的两根为，，分别计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】是方程的两根，； （1）； （2）； （3）； （4）. 题型四 利用根与系数的关系求参数 【例4】已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则，则的