专题13 解三角形-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题13 解三角形-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 正余弦定理及三角形面积公式 【母题来源】2022年高考北京卷 【母题题文】 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【试题解析】【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等. 【得分要点】 （1） 一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； （2） 应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用； （3） 注意边或角的限制范围. 考向二 正余弦定理的综合应用 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科） 【母题题文】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． （1）若，求C； （2）证明： 【试题解析】【小问1详解】 由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． 【小问2详解】 由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式. 【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用. 【得分要点】 （1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； （2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用； （3）注意边或角的限制范围. 一、单选题 1．（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围. 【详解】 由，故. 故选：A 2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（       ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值. 【详解】 ，∴， ∴. 故选：A. 3．（2022·河南·模拟预测（文））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（       ） A． B．5 C．8 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案 【详解】 由题意可知， ，得 ， 由余弦定理可得： 整理得： ， 故选：A 4．（2022·甘肃白银·三模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果. 【详解】 因为， 所以，所以， 所以的面积为. 故选：C. 5．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由不能得到是锐角三角形，但是锐角三角形,则，根据必要不充分条件的定义，即可求解. 【详解】 由正弦定理可知，， 不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则. 故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件， 故选:B． 6．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积． 【详解】 因为，由正弦定理得，所以（舍去）， 三角形周长为5，，则，， 由等腰三角形性质知边上的高为， 所以三角形面积为． 故选：A． 7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可. 【详解】 因为为锐角三角形，，设边上的高为， 所以，解得 由正弦定理可得，， 所以，，，因为， 所以 因为，所以，所以， 所以，所以高的取值范围为. 故选：C. 8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋