专题14 立体几何（文科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题14 立体几何（文科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 线面夹角 【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科） 【母题题文】 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 【答案】D 【试题解析】【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确． 故选：D． 【命题意图】本题主要考查直线与平面夹角，是一道容易题. 【命题方向】这类试题在考查题型上选择题、填空题、解答题形式出现，试题难度不大，多为中低档题，重点考查线面夹角的求法问题. 【得分要点】 （1） 找斜线在平面中的射影； （2） 求斜线与其射影的夹角； 考向二 线面平行、垂直的证明 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科） 【母题题文】 如图，四面体中，，E为AC的中点． （1）证明：平面平面ACD； （2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【试题解析】【小问1详解】 由于，是的中点，所以. 由于，所以，所以，故， 由于，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. 【小问2详解】 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以，所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小值. 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以，所以. 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以,所以. 【命题意图】本题考查线面平行、垂直的证明. 【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的必考题型． 常见的命题角度有： （1）线面平行的证明；（2）线面垂直的证明；（3）面面平行的证明；（4）面面垂直的证明. 【得分要点】 （1）利用线面、面面平行的判定定理与性质定理； （2）利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理. 一、单选题 1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知为空间的两个平面，直线，那么“∥”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】 当直线，∥，则，l与β相交，故充分性不成立； 当直线，且，时，∥，故必要性成立， ⸫“∥”是“”的的必要不充分条件. 故选：A. 2．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））在正方体中，M为的中点，则直线CM与所成的角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 ，所求角为，利用几何体性质，解即可 【详解】 设正方体棱长为1，连接与所成角即是与所成角， ，为， 故选：D 3．（2022·青海·模拟预测）已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论错误的是（       ） A．四面体ABCD的棱长均为2 B．异面直线AC与BD的距离为 C．异面直线AC与BD所成角为 D．四面体ABCD的内切球的体积等于 【答案】C 【解析】 【分析】 对于A, 设该四面体的棱长为a，表示出高，根据其外接球的体积等于，求得外接球半径，即可求得a,判断A;对于B, 分别取BD,AC的中点为E,F,连接EF,求得EF的长，即可判断；对于C，证明线面垂直即可证明异面直线AC与BD互相垂直，即可判断;对于D，利用等体积法求得内切球半径，即可求得内切球体积，即可判断. 【详解】 如图示，设该四面体的棱长为a，底面三角形BCD的重心为G,该四面体的外接球球心为O，半径为R，连接AG,GB,OB,AG为四面体的高，O在高AG上， 在中，, 在中，，解得 ， 由于外接球的体积等于，即 ,故， 故 ，故A正确； 分别取BD,AC的中点为E,F,连接EF, 正四面体ABCD中，AE=EC,故 ,同理, 即EF为AC,BD的公垂线，而 , 则 ,故B正确； 由于 , 平面ACE,故平面ACE, 又平面ACE,所以， 即异面直线AC与BD所成角为 ，故C错误； 设四面体内切球的半径为r,而 ,故， 故， 所以四面体ABCD的内切球的体积等于，故D正确， 故选：C 4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线异面，直线平面 D．直线与直线相交，直线平面 【答案】A 【解析