附录 导数应用问题补遗-2023高考数学总复习系列课程数学攻略六——导数应用

高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 35 / 42 导数应用问题补遗 1.【2018,全国 2 卷,文 21】已知函数 3 21( ) ( 1) 3 f x x a x x    ． (1)若 3a  ,求 ( )f x 的单调区间； (2)证明: ( )f x 只有一个零点． 2.已知函数 3 21( ) (2 ) 1 3 f x ax bx b x     分别在 x , x 处取得极大值和极小值,且 1 20 1 2x x    , 求 2a b 的取值范围. 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 36 / 42 3.已知函数 1( ) xf x e ax a   ． (1)当 a e 时,求证: ( ) 0f x  ； (2)设方程 ( ) 0f x  的两个实根为 1 2,x x 1 2( )x x ,证明: 1 20 2 2lnx x a     ． 4.【2018,全国 1 卷,理 21】设函数 1( ) lnf x x a x x    ． (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)若 ( )f x 存在两个极值点 1 2,x x ,证明: 1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x a x x     ． 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 37 / 42 5.已知函数 2 ( ) lnxf x a x x     ,对任意的正实数 ,a ,证明:存在实数 0x ,当 0x x 时, ( ) 0f x  . 6.已知函数   lnf x x x ,     2 2 a x x g x   . (1)若    f x g x 在  1, 上恒成立,求实数 a的取值范围； (2)求证:      2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 n e n n n                              . 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 38 / 42 7.已知函数   ln 1,f x x x ax a R    . (1)当 0x  时,若关于 x的不等式   0f x  恒成立,求 a的取值范围； (2)当  1,x  时,证明:   21 lnx e x x x x e     . 8.已知函数 )11(ln)(  x axxf , (1)若 0)( xf ,求实数 a的取值集合； (2)证明: xxex x e x ln2)2(1 2  . 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 39 / 42 9.当 0x  时, 2 2 1xe ax ax   恒成立,求实数 a的取值范围. 10.已知函数 ( ) ln ( )f x a x x a R   , (1)求 ( )f x 的单调区间； (2)求函数 ( )f x 零点的个数,并证明你的结论。 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 40 / 42 11.已知函数 2 2( ) 2( 1) 2x xf x ae ax e x x     ,当0 2a  时,证明: ( )f x 有两个零点. 12.已知函数 2( ) xf x e x  , (1)求曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线方程； (2)求证:当 0x  时, (2 ) 1 1 ln xe e x x x      . 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 41 / 42 13.已知函数   21 2 xf x e x ax   有两个极值点 1 2x x， . (1)求实数 a的取值范围； (2)求证:    1 2 2f x f x  . 14.已知函数   ln 11 , ( ) x x aef x g x bx x e x      ,若曲线  y f x 与曲线  y g x 的一个公共点是  1,1A ,且在 点 A处的切线互相垂直． (1)求 ,a b的值； (2)证明:当 1x  时,   2( )f x g x x   ． 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 42 / 42 15.已知函数 ( ) (1 ln )f x x x  , (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)设 ,a b是两个不相等的正实数,且 ln lnb a a b a b   ,求证: 1 12 e a b 