7 隐零点问题的解法-2023高考数学总复习系列课程数学攻略六——导数应用

高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 19 / 42 07 隐零点问题的解法 极值点不易求出或无法求出的问题 一、隐零点问题的解法提炼 1.设函数 2( ) xf x e x  ,求证:对 x R ,均有 1( ) 2 f x  成立． 2.求证:函数 2 ln( ) ( 1) xf x x   在区间 (0,1)内有且只有一个极值点,且 ( ) 2f x   ． 核心环节：①由 0'( ) 0f x  得 0x 的等式；②由 0'( ) 0f x  估 0x 的范围；③由①②求 0( )f x 的范围. 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 20 / 42 二、隐零点问题的真题链接 3.【2015,全国 1 卷,文 21】设函数 2( ) lnxf x e a x  ( 0)a  ,求证: 2( ) 2 lnf x a a a   ． 4.【2017,全国 2 卷,理 21】已知函数 2( ) lnf x ax ax x x   ,且 ( ) 0f x  ． (1)求 a； (2)证明: ( )f x 存在唯一的极大值点 0x ,且 2 2 0( ) 2e f x    ． 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 21 / 42 5.【2017,全国 3 卷,文 21】已知函数 2( ) ln (2 1)f x x ax a x    ． (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)当 0a  时,证明: 3( ) 2 4 f x a    ． 6.【2016,全国 2 卷,理 21】 (1)讨论函数 2( ) 2 xxf x e x    的单调性,并证明当 0x  时, ( 2) 2 0xx e x    ； (2)证明:当 (0,1)a 时,函数 2( ) xe ax ag x x    ( 0)x  有最小值 ( )h a ,并求 ( )h a 的值域.