课时分层检测(二十一) 导数的概念及其意义、导数的运算（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 分层设计覆盖导数核心知识，融合物理情境与数学定理，适配一轮复习的基础巩固与能力提升 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择|6|导数概念、运算、几何意义、物理应用|结合瞬时速度、曲率等物理情境，融入2026年阜阳模拟等题源| |多项选择|2|导数运算、函数性质|考查导数运算法则及函数对称性、周期性综合| |填空|2|中值定理、对称曲线切线|引入拉格朗日中值定理，涉及曲线对称与公切线| |解答|2|切线方程、公切线综合|素养提升题含公切线、面积计算及最短距离，关联2026年晋城调研|

课时分层检测（二十一） 导数的概念及其意义、导数的运算 知识过关 一、单项选择题 1. 若函数的满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. （2026·阜阳模拟） 3. 过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. （2026·河南新乡二模） 5. 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ） A B. C. D. 6. 若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 7. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. C. D. 三、填空题 9. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________. （2025·安徽名校联考） 10. 已知曲线与曲线关于直线对称，则与两曲线均相切的直线的方程为______________. 四、解答题 11. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 素养提升 （2026·晋城调研） 12. 已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线． （1）求a，b，c的值； （2）求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； （3）若曲线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 课时分层检测（二十一） 导数的概念及其意义、导数的运算 知识过关 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，令导数为计算即可. 【详解】由题意知，则， 令，则，即该质点瞬时速度为时，时间. 故选: C. （2026·阜阳模拟） 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案. 【详解】由函数的图象可知为单调递增函数， 故函数在每一处的导数值，即得， 设，则连线的斜率为， 由于曲线是上升的，故， 作出曲线在处的切线，设为，连线为， 结合图象可得的斜率满足， 即， 故选：B （2026·河南新乡二模） 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用曲率的定义可求得，进而得曲率半径，利用向心加速度的定义计算可求向心加速度. 【详解】设，则，，所以，， 则曲线在点处的曲率，曲率半径， 故曲线在点处的向心加速度的大小为. 故选：B. 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】求导，利用基本不等式求出导数值的范围，再由条件求出参数的范围即可. 【详解】因为函数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为函数的图象上不存在互相垂直的切线， 所以，即，解得． 故选：A. 二、多项选择题 【7题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 【8题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以的图象关于点成中心对称，故A错误； 由②，②式两边对求导可得， 可知是偶函数，以替换①中的可得， 可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确； 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 因为，令，则，即， 又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍. 三、填空题 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数. 【详解】，， 令，解得：或， 在上的“拉格朗日中值点”的个数为. 故答案为：. （2025·安徽名校联考） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先利用对称性求得曲线，再利用导数的几何意义列式求得切点坐标，从而得解. 【详解】设曲线上任一点的坐标为，满足， 则该点关于直线的对称点为，得，整理可得， 设曲线上的切点为，曲线上的切点为， 又的导函数为的导函数为， 则，两式整理得， 所以，即，解得，所以. 所以曲线与曲线的公切线的公切点为， 则切线的斜率为1，故与两曲线均相切的直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 四、解答题 【11题答案】 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 素养提升 （2026·晋城调研） 【12题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）公共点的坐标代入两个函数式，两个函数式求导，在时，导数值相等，联立方程组解得； （2）由（1）写出切线方程，求得其与坐标轴交点坐标后可得三角形面积； （3）求出函数导数值为2的点的坐标，即为点坐标，然后由点到直线的距离公式可得距离. 【小问1详解】 两函数和的导数分别为和， 由题意，解得； 【小问2详解】 由（1）知公切线方程为，即， 令得，令得， 所以所求面积为； 【小问3详解】 由（1）函数为，，由得，, 所以，最短距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $