6 构造函数不等式的切入点-2023高考数学总复习系列课程数学攻略六——导数应用

高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 16 / 42 06 构造函数不等式的切入点 选准目标函数关注结构特征 1.设函数 1( ) lnxf x x ax    . (1)若函数 ( )f x 在 ),1[  上为增函数,求正实数 a的取值范围； (2)当 1a  时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有 1 1 1 1ln 2 3 4 n n      . 2.设函数 2( )f x kx , ( ) lng x x , (1)讨论关于 x的方程 ( ) ( )f x g x 在区间 1[ , ]e e 内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 4 4 4 4 4 ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 1 1 2 3 4 2 n n e       . 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 17 / 42 3.设函数 2( ) ln(1 )f x x x   , (1)证明:当 0x  时, ( ) 0f x  ； (2)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有 4 4 4 4 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 1 2 3 e n      . 4.设函数 ( ) 1xf x e ax   , (1)若 ( ) 0f x  对 x R 均成立,求正实数 a的取值集合； (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n n nn e n n n n e        . 高考复习 · 导数应用 题组归源 · 刻意练习 18 / 42 5.设函数 ( ) 1xf x e x   , (1)求证:函数 ( )f x 有且只有一个零点； (2)求证:对任意的正整数 n ,都有 1 3 5 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 n n n nn e n n n n e         . 6.设函数 ( ) ln( )f x x x a   的最小值为0 ,其中 >0a . (1)若对任意的 [0,+ )x  ,有 2( )f x kx 成立,求实数 k的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有 )12ln( 2 1 12 1 5 1 3 1    n n  .