2.2.4　第2课时　均值不等式的综合应用-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

2.2.4　第2课时　均值不等式的综合应用 正数 谢谢观看！ 27 内　容　标　准 学　科　素　养 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用． 逻辑推理、数学运算、数学建模 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题． 3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题. [教材提炼] 知识点　用均值不等式求最值 用均值不等式eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)求最值应注意： (1)x，y是不是 ； (2)若x，y是正数， ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2. (3)等号成立的条件是否满足． 3．当x＞1时，x＋eq \f(1,x－1)的最小值为________． 【答案】3 [自主检测] 1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　) A．eq \f(1,2)　　 B．1　　　C．2　　　D．4 【答案】C 2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________． 【答案】1 探究一　用均值不等式求最值 [例1]　(1)若x＞0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值； [解]　∵x＞0. ∴x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4 当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x＞0)在x＝2时取得最小值4. (2)设0＜x＜eq \f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； [解]　∵0＜x＜eq \f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝ 2[2x(3－2x)]≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋(3－2x),2)))2＝eq \f(9,2). 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． ∵eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))， ∴函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2). (3)已知x＞2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值； [解]　∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)， 即x＝4时，等号成立．∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. (4)已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． [解]　∵x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法提升 应用均值不等式的常用技巧 (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值”和“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型． (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围． (3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件． 同源异考 重在触类旁通 设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2x＋y,x)＋eq \f(2x＋y,y)＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y) ≥3＋2eq \r(\f(y,x)·\f(2x,y))＝3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(2x,y)，即y＝eq \r(2)x时，等号成立， 解得x＝1－eq \f(\r(2),2)，y＝eq \r(2)－1， ∴当x＝1－eq \f(\r(2),2)，y＝eq