2.2.4　第1课时　均值不等式-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

≥ a＝b 正方形 谢谢观看！ 19 2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 内　容　标　准 学　科　素　养 1.探索并了解均值不等式的证明过程． 直观想象 逻辑推理 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小． 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式. [教材提炼] 知识点　均值不等式 1.给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值，数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值． 2．如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2) eq \r(ab)，当且仅当 时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大． [自主检测] 1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab|　　　 B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 【答案】A 2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 【答案】D 3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A.eq \f(1,x＋y)＞eq \f(1,4) B.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥1 C.eq \r(xy)≥2 D.eq \f(1,xy)≥1 【答案】B 探究一　用均值不等式判断不等式的成立 [例1]　有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq \f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq \f(1,x2＋1)≥1，其中正确的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【解析】∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a， 故①不正确；对于②，当x＞0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则eq \f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋eq \f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq \f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C. 【答案】C 方法提升 利用均值不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0. 同源异考 重点触类旁通 设M＝a＋eq \f(1,a－2)(2＜a＜3)，N＝x(4eq \r(3)－3x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(4\r(3),3)))，则M，N的大小关系为(　　) A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【解析】M＝a＋eq \f(1,a－2)＝a－2＋eq \f(1,a－2)＋2＞4， N＝x(4eq \r(3)－3x)＝eq \f(1,3)×3x(4eq \r(3)－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4\r(3)－3x,2)))2＝4. ∴M＞N. 【答案】A 探究二　用均值不等式证明不等式 [例2]　(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. [证明]　∵a2＋b2≥2ab b2＋c2≥2bc c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c. [证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq \f(bc,a)＞0，eq \f(ac,b)＞0，eq \f(ab,c)＞0. 则eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)≥2eq \r(\f(abc2,ab))＝2c，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2b，eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥2a. 由不等式的性质知，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ac,b