3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

3.1.3 第2课时　函数奇偶性的应用 基础知识 定义　 (2)_______法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称． (3)_______法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (注：利用上述结论要注意各函数的定义域) 2．F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．(注：F1(x)、F2(x)的定义域是关于原点对称的区间) 3．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相_____；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相_____. 图像　 性质　 同　 反　 基础自测 A 　 D 　 【解析】∵f(x)＝x3，∴g(x)＝f(－2x)＝－8x3.又g(－x)＝8x3＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数．又∵f(x)＝x3为增函数，∴g(x)＝－8x3为减函数． 2．若函数f(x)＝x3，则函数g(x)＝f(－2x)在其定义域上是(　　) A．单调递增的偶函数　 B．单调递增的奇函数 C．单调递减的偶函数　 D．单调递减的奇函数 3．已知函数f(x)是奇函数，x>0时，f(x)＝1，则f(－2)＝(　　) A．0　 B．1　　 C．－1　 D．±1 C 　 【解析】设x<0，则－x>0，f(－x)＝1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝1，f(x)＝－1(x<0)．∴f(－2)＝－1. 4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为______________________. [－1,0]和[1，＋∞)　 【解析】由图像可知当x＞0时，f(x)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称． ∴f(x)在[－1,0]上单调递增，在(－∞，－1]上单调递减．故f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值． [解] ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|， ∴|－x＋a|＝|x＋a|， 即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0. 例1 (1)已知函数f(x)＝ax3＋bx－6，且f(－2)＝8，则f(2)＝_______. (2)已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间 (0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最小值为______. 题型一 利用奇偶性求函数值 －20　 －4　 题型探究 思路探究：(1)可构造g(x)＝ax3＋bx，利用g(x)的奇偶性求解． (2)因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)， g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函数来间接求解． 【解析】(1)方法一　令g(x)＝ax3＋bx，易知g(x)是奇函数， 从而g(－2)＝－g(2)．由f(x)＝g(x)－6，得f(－2)＝g(－2)－6＝8， ∴g(－2)＝14，∴g(2)＝－g(－2)＝－14，∴f(2)＝g(2)－6＝－14－6＝－20. (2)由f(x)，g(x)均为R上的奇函数，知af(x)＋bg(x)为R上的奇函数． 由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为8， 得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－6， 故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4. 归纳提升：利用函数奇偶性求函数值的解题思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数， 利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 对点训练1．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝____. 3　 【解析】由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，两式相加，解得g(1)＝3. 例2　设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性． 题型二 含有参数的函数的奇偶性的判断 思路探究：以a是否为0进行分类讨论． [解] 当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1， ∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)， ∴当a＝0时，函数