第01讲 直线的斜率与倾斜角-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程 第01讲 直线的斜率与倾斜角 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2. 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1.倾斜角永远存在但斜率不一定 2.倾斜角与斜率的计算 ( 知识精讲 ) 知识点01 直线的倾斜角 1.直线的倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 锐角 直角 钝角 零角 注意：当直线和轴平行或重合时，规定直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是． 2.直线的倾斜角的意义 (1)直线的倾斜角体现了直线相对于轴正向的倾斜程度. (2)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角 (3)倾斜角相同,未必表示同一条直线. 【即学即练1】如图，已知直线的倾斜角为150°，，垂足为B．，与x轴分别相交于点C，A，平分，则的倾斜角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【解析】 因为直线的倾斜角为150°，所以，所以的倾斜角为． 故选：A. 【即学即练2】（多选）设直线过原点，其倾斜角为，若将直线绕坐标原点逆时针方向旋转45°后得到直线，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 当时，，所以直线的倾斜角为. 当时，，，即直线的倾斜角为. 故选：BD 知识点02 直线的斜率 1.直线的斜率 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用表示，即, 且 注意:当直线与轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与轴垂直时，=90°，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 2.直线的斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式. 注意： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与轴垂直； (2)与P1、P2顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当时，斜率，直线的倾斜角=0°，直线与轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 【即学即练3】以下两点确定的直线的斜率不存在的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】 根据斜率公式可知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，此时，过两点的直线垂直于轴， A、B、C选项中，两点的横坐标不相同， D选项中，两点的横坐标相同，过该两点的直线的斜率不存在. 故选：D. 【即学即练4】已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（       ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】 设或，∴或， 即或，解得或， ∴点的坐标为或. 故选：B. 知识点03 直线的斜率与倾斜角的关系 1.斜率与倾斜角的关系如下图 倾斜角 零角 锐角 直角 钝角 斜率 等于0 大于0 不存在 小于0 图形 斜率与倾斜角的关系 直线平行于轴或与轴重合 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 直线垂直于轴 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 【即学即练5】如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 【即学即练6】已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当直线的倾斜角时，直线的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线的斜率k的取值范围是. 故选：D ( 能力拓展 ) ◆考点01 直线与线段有交点的斜率范围问题 【典例1】已知点A（，2），B（4，﹣3），若直线l过点P（0，1）与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B．[] C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 由A（，2），B（4，﹣3），P（0，1）， 可得斜率，， 因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：C. 【典例2】已知点，直线与线段有交点，求l的斜率的取值范围． 【答案】 【解析】 直线过定点P(0,2).如图： 因为，. 要使直线与线段有交点， 则直线l的斜率的取值范围是. 【典例3】已知直线与线段相交，其中点为，点为． (1)当时，求实数的取