专题17 跨阶同构-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题17 跨阶同构 【方法点拨】 1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题 2.跨阶同构的几个关键环节: （1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点. （2）凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 3.常见同构式: （1）与型：，； （2）与型：，. 4.几个常用函数的图象： 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 【典型题示例】 例1 （2022·江苏天一中学期末·16）已知函数（），若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . A． ； B． ； C． ； D． . 【答案】A 【解析】，即 两边同时除以得 两边同时除以得，即 设函数，易得在单增 所以，易知，故 设，易得 所以，故，选A. 例2 (2022·江苏省G4（扬州中学、苏州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月阶段检测)若不等式对x∈(0，＋∞)恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为 A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 【答案】B 【分析】运用同构对不等式进行变形，使得两边“结构相同”，由于式子中含有ex、ln（x+1）及关于x的一次式，故应考虑“跨阶同构”，即对不等式变形时，应使得不等式两边一边含ex、另一边含ln（x+1）. 【解析】对变形得：2ex－ax＞2（x+1）－aln（x+1） 一方面，2ex－ax＝2ex－a ln ex， 所以问题转化为2ex－a ln ex＞2（x+1）－aln（x+1）对x∈(0，＋∞)恒成立 又因为ex＞x+1，设f(x)=2ex－ax，则f(x) 在(0，＋∞)为增函数 故f/(x)=2ex－a≥0恒成立，故a≤2. 例3 已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： （说明：将变量移至一边的原则进行变形） 即，两边同时加（x－1）得 （说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形） 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 点评： 对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． 例4 设a，b都是正数，若（其中e 是自然对数的底数），则（ ） A.＞e； B.＞ea+1； C.＜e； D.＜ea+1. 【答案】B 【解析】由已知移项整理得， 为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得， 为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得 故 （#） 设，（#）即为 ∵a＞0，∴ ∵，∴，故， 当＞0，单增 ∴，即 ea+1＜，选B. 例5 已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵ ∴ 两边加上得 设，则其单增 ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单增；当时，，单减 ∴当时，取得极大值即为最大值，且 ∴，∴即为所求. 例6 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得，即对任意的恒成立． 设，则恒成立， 又， ∴当时，单调递减；当时，单调递增．画出图象为 ①当时，，此时函数单调递增，∴， 即，所以恒成立，∴恒成立． 则当时，单调递增；当时，单调递减，∴，∴． ②当时，， 由，结合函数的图象可得，即恒成立． 综上可得，∴实数的取值范围是． 【解析二】由得，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，亦即. 设(>0)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 【解析三】由得，，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，亦即. 设(>1)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 【解析四】由得，，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，得. 设(>1)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 例7 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边） 两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构） 即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#） 设，则，单增 故由（#）得， 再令，则，易知当 所以，即. 【解析二】将变形为，即 设，易知单增 故（以下