专题16 运用同构求值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题16 运用同构求值 【方法点拨】 含有指对运算的方程称之为超越方程，遇到相关的求值问题,可考虑”同构”,其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数利用函数的单调性，最终利用两方程“同解”来求解. 【典型题示例】 例1 (2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则 ． 【答案】2 【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解. 【解析】令得 所以函数在上为减函数，在上为增函数，且. 令得 所以函数在上为减函数，在上为增函数，且. 故函数和有相同的最小值1 如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意， 此时，故 由， 得 即 一方面，而 所以 又因为，，且在上为减函数 所以，所以 另一方面，由，同理可得 所以 再由和得 据果移项得，所以 综上，. 例2 (2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为，则 . 【答案】1 【分析】“据果变形”， 由题意得 ，所以，观察期结构特征，对右侧实施变形，设即可. 【解析】由题意得: ∴ 设在上单增 故有，即 ∴. 例3 (2022·江苏七市三模)已知函数的零点为，的零点为，则 A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，则， 显然单增，故等价于，则，故A错误； 因为单增，且，故，则 故，则B正确； ，则C正确； D.，因为，故， 则，而，则，故D正确. 例4 已知实数，满足，，则______. 【答案】 【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解. 【解析一】实数，满足，， ，，则， ， 所以在单调递增，而， . 【解析二】对两边取自然对数得：， 对两边取自然对数得： （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为： 设，则 所以在单调递增，的解只有一个. ∴， ∴ 点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解. 例5 已知实数a，b满足，，则a＋3b＝ ． 【答案】16 【解析】令，则 ，代入可化为，即 设，则，在上单增 故只有一个零点 所以，即， 所以. 例6 已知实数满足，，则 （ ） A.112 B.28 C.7 D.4 【答案】，，即， 设，则，且易知其为定义在（0，+∞）上的单增函数 故，即，选B. 例6 已知实数满足，，则（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】B 【解析】 设，则， 则，且， 故为定义在R上的单增函数，且 所以，即，选B. 【巩固训练】 1.已知、分别是方程、的根，则＋的值是 . 2.已知实数x、y满足，则的值是 . 3.方程的根是 . 4.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______． 5.设方程的根为，方程的根为，则= . 6.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 . 7. 若满足2x+=5， 满足2x+2(x－1)=5， +＝ ( ) A. B.3 C. D.4 【答案或提示】 1.【答案】－1 【提示】设，则，单增. 由，得 代入得，即，得＋＝－1. 2.【答案】2020 【提示】两边取自然对数得 设，则易得其为上的单增奇函数 所以， 故. 3.【答案】 【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性. 【解析】原方程可化为 设，易得其为上的单增奇函数 所以，即为所求. 4.【答案】2 【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值. 【解析】由，化简为：，即， 设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)， 且，所以，即. 5.【答案】4 6.【答案】2 【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2， 设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2. 因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2. 点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0. 7. 【答案】C