专题14 二元不等式恒成立问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题14 二元不等式恒成立问题 【方法点拨】 1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可. 2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理. 【典型题示例】 例1 若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【答案】（﹣∞，﹣2） 【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可. 【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)= b+ (x3﹣3x2+ax) 则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b) ＜0恒成立 只需f(4) ＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0 再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立 分离参数可得：a＜3x﹣x2， 设g（x）＝3x﹣x2，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值 由g′（x）＝3﹣2x，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时， g′（x）＜0，g（x）递减， 又g（1）＝﹣2，g（3），可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2， ∴a＜﹣2，故实数 a的范围是（﹣∞，﹣2）． 例2 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由在恒成立， 整理得对任意恒成立， 所以应有恒成立， 即对恒成立． 设， 则， 令，得或，列表如下： 8 0 0 0 极小值 极大值 ， 所以在的最小值为，又， ， 所以实数的取值范围是． 例3 已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为 ． 【答案】ln3－． 【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图象，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图象可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝，从而b＝ln3－． 例4 若恒成立，则的取值范围是　 　． 【答案】 【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3. 【解析】对两边取自然对数得 故， 所以的取值范围是． 例5 已知，若恒成立，则的取值范围是　 　． 【答案】 【分析】所求，为了出现，将变形为，此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点，根据图象可知，当时，曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即，所以，的取值范围是． 点评： 对于或型恒成立，求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是： 1 判断函数的凸凹性（当时，函数为凹函数；当时，函数为凸函数），从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同； 2 凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可. 例6 已知，若不等式恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】问题转化为，设、，则两函数左右两侧的凸凹性相反，从形上看，若（）固定不变，当变大时，抛物线的开口程度越大，此时越小，欲求使恒成立时的最小值，则两函数图象相切即为“临界状态”；另一方面，，函数的零点为、，故的几何意义是函数的一个零点，零点的最大值即的图象与轴交点运动到最优时，从形上看不能知道，零点即“公切点”时满足题意. 【解析】设、 则函数的零点即为两函数的“公切点”时满足题意 令得，， 所以，即，此即为所求的最小值． 【点评】 1. 本题解法的实质是，构造的两函数的零点相同. 2. 本题也可转化为再利用“形”来求解. 【巩固训练】 1. 若不等式，对任意，恒成立，则实数的取值范围为___________. 2.设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围为___________. 3.设、均为实数，已知函数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围； 4. 已知，若恒成立，则的取值范围是　 　． 5. 已知直线与曲线相切，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 6. 若不等式对于任意恒成立，则的最大值是（ ）． A. B. C.