专题11 数列-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题11 数列-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 等差数列 【母题来源】2022年高考全国I卷 【母题题文】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【试题解析】【小问1详解】 ∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，，∴, 整理得：,即,∴ ， 显然对于也成立，∴的通项公式； 【小问2详解】 ∴ 【命题意图】本题考查利用等差数列的通项公式、累乘法及裂项求和法. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有： （1）等差数列通项公式的求法；（2）等差数列前n项和公式的求法； 【得分要点】 （1）掌握等差数列通项公式求法的几种形式； （2）掌握等差数列前n项和公式求法的几种形式； 考向二 等比数列 【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科） 【母题题文】 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【试题解析】详解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以.故选：D. 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的简单运算. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）等比数列通项公式的求法；（2）等比数列前n项和公式的求法； 【得分要点】 （1）掌握等差数列通项公式的求法； （2）掌握等差数列前n项和公式的求法； 考向三 等差数列、等比数列综合应用 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】记为数列前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 【试题解析】【小问1详解】 解：因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时． 【命题意图】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和. 【得分要点】 高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化． 一、单选题 1．（江西省抚州市2021-2022学年高二下学期学生学业发展水平测试（期末）数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A．44 B．33 C．66 D．55 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列的通项公式和条件求出，然后利用等差数列的求和可得答案. 【详解】 设等差数列的公差为，因为为等差数列，所以， 得，所以. 故选：D. 2．（重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题）在等差数列中，，则的值是（          ） A．36 B．48 C．72 D．24 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】 由题设，，则， 所以. 故选：A 3．（北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案. 【详解】 解：设数列的公比为， 若， 则，所以， 则， ，所以， 所以为递减数列； 若为递减数列， 当时，，数列为递减数列， 此时， 所以由为递减数列不一定能得到， 所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．（广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等比数列中的项，是函数的极值点，则（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案. 【详解】 由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以. 故选：D. 5．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】