专题12 三角函数-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题12 三角函数-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用） 考向一 三角函数的图像 【母题来源】2022年高考全国I卷 【母题题文】 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【试题解析】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题. 常见题型： 平移变换、辅助角公式、诱导公式. 【得分要点】 （1） 利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简； （2） 利用三角函数的一些性质解题. 考向二 三角函数的性质 【母题来源】2022年高考北京卷 【母题题文】 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】C 【试题解析】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等； 【得分要点】 （3） 利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简； （4） 利用三角函数的一些性质解题. 一、单选题 1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数的最小正周期为，则的值为（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的周期计算公式即可求解. 【详解】 由，∴.故选：A. 2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则表达式（       ） A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值 【答案】D 【解析】 【分析】 结合余弦函数，可分别得到，，的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断. 【详解】 由，，易知. 同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号. 补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值，从而该式无最值. ①取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）. 则时，，从而，，即证. ②取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（不取等的理由同上）. 则时，，从而，，即证. 故选：D 【点睛】 易错点点睛：，，均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值. 3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（       ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 整理，且，由图中最值可得，利用相邻对称轴的距离求得，根据对称轴求得，进而可得，即，即可求解. 【详解】 由题，，， 由图可知，，，所以，， 又，所以，则， 因为对称轴为，所以，，则， 所以，即， 所以， 故选：B 4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若，则＝（       ） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 【详解】 依题意，，所以. 故选：C 5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期. 【详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 故选：A. 6．（2022·上海闵行·二模）“角的终边关于轴对称”是“"的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条许 D．既不充分也不必要各件 【答案】B 【解析】 【分析】 先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】 由角的终边关于轴对称，则，可知，即成立，充分性成立； 当时，角的终边关于轴对称或， 所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（       ） A． B．在区间单调递减 C．在区间上的最大值为2 D．