专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题12 双变量不等式类能成立、恒成立问题 【方法点拨】 1.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max； ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min； ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min. 记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换. 2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法. 【典型题示例】 例1 已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】不等式化为，令，，可得，分别讨论，，和时，求最值可得出. 【解析】不等式两边同时除以得， 整理得， 令，，则，则， 由于对任意都成立，则有对任意恒成立， （1）当时，不成立，不符合题意； （2）当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则，解得，与矛盾，不符合； （3）当时， ①当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意， 则，解得，； ②当时，有，即，则当时，取得最大值为，则，； ③当时，恒成立，满足题意， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 例2 已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】即. 当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故； 当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故； 综上，实数的取值范围. 例3 已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是 . 【解析】由条件可知 因为，且、在[1，2]上单调递增 所以函数在[1，2]上单调递增，， 所以，即在恒成立， 即在恒成立，记， 易证在[1,2]上单调递增， 所以，，从而只需，即. 点评： 为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！ 例4 已知函数，，若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分 由题意得，，， 当时，， 令，则，， 即在上为减函数，故 所以， 所以恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围为． 点评： 存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系. 例5 若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立， 即不等式在上恒成立， 所以， 即，存在，使不等式成立， 再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立， 设，则只需或，即或， 所以实数的取值范围为. 【解析二】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立， 即不等式在上恒成立， 所以， 即，存在，使不等式成立， 再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立， 即在能成立 分离变量得 设，则在区间上单增， 所以，故，即 所以实数的取值范围为. 点评： 1． 二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想； 2． 解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦. 例6 设a>0，函数f (x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，都有f (x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】问题可转化为f (x)min≥g(x)min，函数g(x)不含参，易求得g(x)min＝g(1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f (x)min，二是将f (x)min≥g(x)mi转化为f (x)＝x＋≥5恒成立，通过分离参数再解决 【解析】 问题可转化为f (x)min≥g(x)min. 当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5. 思路一：又f ′(x)＝1－＝，令f ′(x)＝0，易知x＝a是函数f (x)的极小值． 当a≤1时，f (x)min＝1＋a2，则1＋a2≥5，不成立； 当1<a≤e时，f (x)min＝f (a)＝2a，则2a≥5，得≤a≤e； 当a>e时，f (