专题11 双变量方程类存在性、任意性问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题11 双变量方程类存在性、任意性问题 【方法点拨】 解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有： ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则. 【典型题示例】 例1 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ） A 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A. 例2 已知函数g(x)＝a－x2与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________. 【答案】　[1，e2－2] 【解析】　函数g(x)＝a－x2 与h(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2ln x在上有解，即－a＝2ln x－x2在上有解. 设f(x)＝2ln x－x2，x∈， 则f′(x)＝. ∴f′(x)＝0在上有唯一的零点x＝1. 故f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减. ∴f(x)max＝f(1)＝－1， 又f＝－2－，f(e)＝2－e2，知f(e)＜f. ∴函数f(x)的值域为[2－e2，－1]. 故方程－a＝2ln x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2， ∴实数a的取值范围是[1，e2－2]. 例3 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围. 【解析】令，，. 当时，，故在为增函数， 故在上的值域为. 又当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数. 令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 故对直线与函数的图象有且只要一个公共点， 而，且在上为减函数，在上为增函数， 故，所以，即. 故答案为：. 例4 已知函数 ，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】当时，单调递减，； 当时，成立， 单调递增，， 所以的值域为． 设的值域为，因为存在，使得成立， 所以．，． ①，任意，成立，在单调递增， 所以，，． 因为，所以，； ②，任意，成立，在单调递减， 所以，，， 则，不合题意； ③，令，， 在递减，递增， 所以，，． 又，， 则，不合题意． 综上所述，． 点评： 存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系. 例5 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2]　 【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得． 【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]， 因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]． 因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)， 所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集， 所以，解得 即实数m的取值范围是[－5，－2]． 点评： 考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系. 例6 已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2．若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________． 【答案】(－2,0) 【解析】当x≤－时，f(x)＝1＋＜1， 此时f(x)＝1＋＝1＋－在上单调递减，易求得f(x)∈[－7,1)； 当x＞－时，f(x)＝log， 此时f(x)在上单调递减，易求得f(x)∈(－∞，2)， ∴f(x)的值域为(－∞，2)． 故存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0⇒－g(b)＝f(a)∈(－∞，2)⇒b2＋2b＋2＜2⇒b∈(－2,0)． 例7 已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）