专题10 以分段函数为背景的解不等式-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题10 以分段函数为背景的解不等式 【方法点拨】 1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决. 2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）. 【典型题示例】 例1 (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数．（1）当时，不等式的解集是 ;（2）若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（1）.（2）. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围. 【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和， 则表示数轴上的点到和的距离之和不小于， 当或时所对应数轴上的点到所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或， 所以的解集为. （2）依题意，即恒成立， ， 当且仅当时取等号，,故， 所以或， 解得. 点评： 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 例2 已知函数,则不等式的解集是 ． 【答案】. 【分析】在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出． 【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示： 由，解得． 所以不等式的解集为． 【巩固训练】 1.已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 2.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 3.已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数a的最小值是______． 4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 . 5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 6.已知函数，则不等式的解集为__________. 7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 ． 【答案或提示】 1.【答案】 【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当 即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故, 所以不等式的解集为. 2.【答案】　D 【解析】　法一：分类讨论法 ①当即x≤－1时， f(x＋1)<f(2x)，即为2－(x＋1)<2－2x， 即－(x＋1)<－2x，解得x<1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ②当时，不等式组无解． ③当即－1<x≤0时， f(x＋1)<f(2x)，即为1<2－2x，解得x<0. 因此不等式的解集为(－1,0)． ④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意． 综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法 ∵f(x)＝ ∴函数f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)， 则需或 ∴x<0，故选D. 3.【答案】3＋． 【提示】f (x)＝，作出函数f (x)的图象得： 作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值．设直线l的方程为y＝t， 可得MN＝3＋＋＝3＋＝3＋ ≤3＋＝3＋ 所以，a的最小值是3＋ 【说明】 1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值． 2.本题也可使用导数知识解决. 4.【答案】 【解析】设，则对任意的恒成立，意即将图象上的每一点向左平移个单位后，所得到的图象不可能在的上方. 因为 如图，由图象得，，又因为，故. 1𝑎 5.【答案】 【提示】利用奇函数，求出时，，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 6.【答案】 【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 7.【答案】[－，]. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $