专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题09 三次函数的对称性、穿根法作图象 【方法点拨】 对于三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（其中a≠0），给出以下常用结论： (1)当a＞0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为N字型；当a＜0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为反N字型；当a＞0，b2－3ac≤0时，单调递增，当a＜0，b2－3ac≤0时，单调递减． (2)三次函数有对称中心(x0，f (x0))，f ″(x0)＝0. 【典型题示例】 例1 (2021·全国乙卷·理10)设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 例2 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 . 函数的一个极值点是，所以以为界与比较，进行分类讨论. ①当时，如图一，由得，或，欲使函数在区间上单调递增，只需，即. ②当时，如图二，在区间上单调递增，满足题意. 综上知，实数的取值范围是． x y O a （图二) a O x y （图一） 点评: 作三次函数f (x)＝a(x－x1) 2(x－x2)（其中a≠0，x1≠x2）示意图的方法要点有二： （1）当a＞0时，三次函数的图象为N字型（最右区间增）；当a＜0时，三次函数的图象为反N字型（最右区间减）. （2）x1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x轴相切（或称“奇穿偶回”，即x1、x2都是函数的零点，x1是二重根，图象到此不穿过x轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）. 例3 已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0 【答案】C 【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以，对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【解析】因为，所以且，设，则的零点为 当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以； 当时，则，，要使，必有. 综上一定有. 故选：C 例4 已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 . 【答案】2 【分析】本题的难点在于发现函数的对称性、变形为“结构相同”后逆用函数的单调性. 【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2， 设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2. 因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2. 【巩固训练】 1.函数图象的对称中心为_____. 2.已知直线与曲线有三个不同的交点，，，且，则__________. 3.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 4.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是 ． 5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 6. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 7. 已知函数，，其中，且，如果函数的值域是，则实数的取值范围为________. 8.已知函数，则函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值是 . 9.已知函数的定义域是，值域是，则实数的取值范围是 . 【答案或提示】 1.【答案】 【解析一】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得， 整理得到： ， 整理得到 对任意均成立， 所以 ，所以，. 即对称中心． 【解析二】∵f ″(x)＝6x－6 令f ″(x)＝6x－6＝0 解得x＝1 将x＝1代入得f (x)得f (1)＝2 ∴对称中心． 2.【答案】3 【解析】由题意，函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称， 所以函数的函数图象关于点对称， 因为直线与曲线有三个不同的交点， 且， 所以点为函数的对称点，即，且两点关于点对称， 所以，于是. 3.【答案】 【解析】因为,且由得: 或 所以函数的图象是增-减-增型，且