专题08 递推函数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题08 递推函数 【方法点拨】 类比于数列的递推关系,我们把具有f(x＋1)＝2f(x)等形式的函数称为递推函数.诸如函数f(x＋1)＝2f(x)，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．f(x)＝f(x－1)+1等以此类推. 【典型题示例】 例1 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【分析】作出图示，求出函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项． 【解析一】∵时，， ∴当时，，故， 同理，当时，，∴，···， 当时，， ∴ 所以，当， 当时，，令， 解之得： 为使对任意，都有，则m的取值范围是. 故选B. 【解析二】　当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝ f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，由此可得 f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)·(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B. 例2 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11　 【解析一】由题意得当1≤x<2时，f(x)＝设x∈[2n－1,2n)(n∈N*)，则∈[1,2)，又f(x)＝f， 1 当∈时，则x∈[2n－1,3·2n－2]，所以f(x)＝f＝，所以2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·2n－2]，所以x＝3·2n－2； 2 当∈时，则x∈(3·2n－2,2n)，所以f(x)＝f＝，所以 2xf(x)－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－2.由于x∈(3·2n－2,2n)，所以无解． 综上所述，x＝3·2n－2.由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 【解法二】由题意得当x∈[2n－1,2n)时，因为f(x)＝·f，所以f(x)max＝f＝.令g(x)＝.当x＝·2n－1时，g(x)＝g＝， 所以当x∈[2n－1,2n)时，x＝·2n－1为y＝2xf(x)－3的一个零点． 下面证明：当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点． 当x∈[2n－1,3·2n－2]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以x∈[2n－1,3·2n－2]时，有一零点x＝3·2n－2；当x∈(3·2n－2,2n)时，y＝f(x)＝－，k1＝f′(x)＝－，g(x)＝，k2＝g′(x)＝－∈，所以k1<k2.又因为f(3·2n－2)＝g(3·2n－2)，所以当x∈[2n－1,2n)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 【解法三】分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2n－2处取得．由x＝3·2n－2∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 例3 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示： 由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，， 当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B. 【巩固训练】 1. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两