专题07 指数函数型函数的单调性、对称性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题07 指数函数型函数的单调性、对称性 【方法点拨】 1. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）. 2.函数的性质如下： （1）定义域是R； （2）值域是（－1,1）； （3）在（－∞，+∞）单增； （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称. 说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等. 【典型例题】 例1 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减 令，则为R上的单调递减的奇函数 由得 即 因为为奇函数，故 所以 又在R上单减，所以，解之得 所以实数的取值范围是. 例2 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 . 【答案】4039 【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为. 【解析】 设 则 所以的图象关于点对称 所以的图象关于点对称 故的值为4039. 例3 已知函数（）是奇函数，设函数，, 若，其中，试比较的大小. 【答案】. 【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可. 【解析】易得，故，，下面考察函数的单调性. 对于在单增，由复合函数单调性得在单减； 对于，设（），在单减，由复合函数单调性得在单减， 再由函数单调性得性质得，在单减， 因为，，所以. 【巩固练习】 1.已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____. 2. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 3.已知，则的值为 ． 4. 已知函数在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________． 5. 已知函数是定义域为的奇函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案与提示】 1.【答案】－1 【提示】由立得. 2.【答案】 【提示】的对称中心是，其定义域为R且单增. 3.【答案】 【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求 的值，易得. 【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故. 4. 【答案】2 【提示】，奇，单增. 5. 【答案】. 【解析】∵函数是定义域为的奇函数， ∴，解得. 经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为. 设且，则 ， ∵，∴，， ∴，即，所以是上的减函数. 由，可得. ∵是上的奇函数，∴， 又是上的减函数， 所以对恒成立， 令，∵，∴， ∴对恒成立， 思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0） 令，，该函数开口朝上，故或取得最大值 ∴，解得，所以实数的取值范围为. 思路二：（分离变量）即对恒成立， 设，则在区间上单减，在区间上单增 所以 所以，故实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $