专题05 与函数的对称性相关的零点问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题05 与函数的对称性相关的零点问题 【方法点拨】 1. 若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m. 2. 对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解. 3. 对称性的三个常用结论： (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称. 【典型题示例】 例1 若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_____________. 【答案】 【解析】设， 则为奇函数，其图象关于坐标原点对称 所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称 所以的所有零点的和等于. 例2 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ） A．0 B．7 C．14 D．21 【答案】D 【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心. 函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称. 【解析】∵是公差不为0的等差数列，且 ∴ ∴ ∴ 例3 函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】分离函数，零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题，再使用函数的对称性解决. 【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点， （1），（1）， 函数 与函数唯一交点为， 又，且，， 在上恒小于零，即在上为单调递减函数， 又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数， 可得函数 与函数的大致图象如下图： 要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1）， （1），（1），，解得， 又，实数的范围为，．故选：． 例4 已知函数有唯一零点，则a=（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足. 设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，. 设，显然关于直线对称，顶点为. 若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，. 若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意； 若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得. 【解析一】，令 则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点， 必有，即，所以. 【解析二】　x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)， 设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝， 当g′(x)＝0时，x＝1， 当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值g(1)＝2， 设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1， 作出－ag(x)与h(x)的大致图象如图所示. 若－a>0，结合选项A，a＝－时，函数h(x)和－ag(x)的图象没有交点，排除选项A； 当－a<0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)的图象有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝，故选C. 例5 已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________. 【答案】1 【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃. 【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0． 将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证． 当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x