专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质 【方法点拨】 1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0. 2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n. 【典型题示例】 例1 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 【答案】2 【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2. 【解析】　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2 答案：2. 点评: 1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧. 2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m. 例2 已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M + m= ． 【答案】 【解析】将函数配成关于的形式 设 则 故为奇函数，其图象关于坐标原点对称 又，所以其图象关于点（1，－1）对称 所以在[0，2]上的最大值为M，最小值为m的和 M + m=． 例3 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 . 【答案】4039 【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为. 【解析】 设 则 所以的图象关于点对称 所以的图象关于点对称 故的值为4039.. 【巩固训练】 1.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 2．已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于（ ） A． B． C． D． 3.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.已知函数，，则________． 5.已知函数在区间的值域为，则的值为_______. 6. 已知函数,在区间上的最大值为最小值为，则_____. 7. 若关于的函数的最大值为最小值为，且，则实数的值为___________． 【答案或提示】 1.【答案】　D 【解析】　令g(x)＝ln(－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln 1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数. 又lg ＝－lg 2，所以g(lg 2)＋g＝0， 所以f(lg 2)＋f＝g(lg 2)＋1＋g＋1＝2. 2． 【解析】根据题意，设，， 有， 即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则， 则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C． 3.【解析】， 令，即, 而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C 4. 【答案】 【解析】因为 所以,故答案为：. 5.【答案】2 【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性. 【解析】因为 设，则为定义在上的单调递增函数 所以在区间单增，且关于点（0,1）对称 所以=2. 6. 【答案】2 【解析】. 令 ,且, 为奇函数, 设其最大值为,则其最小值为, ∴函数的最大值为,最小值为 , .故答案为:. 7. 【答案】2 【解析】部分分式，由已知， 函数为奇函数 又函数最大值为最小值为，且， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $