专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性 【方法点拨】 1.常见的与周期函数有关的结论如下： (1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. (2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. (3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数奇偶性、对称性间关系： (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. 3. 函数对称性、周期性间关系： 若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系) 4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】 例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数的定义域均为R，且，．若的图像关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以 . 故选：D 例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【解析】因为， 令可得，，所以， 令可得，，即， 所以函数为偶函数， 令得，，即有，从而可知，， 故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 例5 已知函数f (x)对任意的x∈R，都有f ＝f ，函数f (x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f (x)＝2x，则方程f (x)＝－在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4 【分析】由f ＝f 对任意的x∈R恒成立，得f (x)关于直线x＝对称，由函数 f (x＋1)是奇函数，f (x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x)的周期为2，作出函数f (x)的图象即可. 【解析】因为函数f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，又因为f ＝ f ，所以f (1－x)＝f (x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，即f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)， 所以 函数f (x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．作出函数f (x)的图象如图所示， 由图象可得f (x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为×2×4＝4. 例6 已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有　　 A．（1）（2）（3）