专题02 函数的奇偶性与单调性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题02 函数的奇偶性与单调性 【方法点拨】 1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论． 2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度. 【典型题示例】 例1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数为奇函数，且存在m∈[－1，1]，使得不等式成立，则x的取值范围是 ． 【答案】[－2,2] 【解析】求得a=2，且f(x)为R上的增函数， 可化为f(x2)＋x2≤2－mx－f(mx－2) 由f(x)为奇函数，得2－mx－f(mx－2)= 2－mx＋f(2－mx) 令F(x)=f(x)＋x，则F(x2)≤F(2－mx)，故有x2≤2－mx，即x2＋mx－2≤0 令G(x)= x2＋mx－2 因为存在m∈[－1，1]，使G(x)= x2＋mx－2≤0 故G(－1)= x2－x－2≤0或G(1)= x2＋x－2≤0 解之得－2≤x≤2. 例2 已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，在f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”． 【解析】　∵f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且x∈R， ∴f(x)是奇函数 ∵函数f(x)＝x3－2x＋ex－， ∴f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时取等号)， ∴f(x)在R上单调递增.， 由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a). 所以2a2≤1－a，解之得－1≤a≤. 所以实数a的取值范围是. 例3 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大. 【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增 由得 即 由是奇函数得，故 由在上单调递增，得，即，解得， 故实数的取值范围为. 例4 已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围． 【解析】函数，若存在使得不等式成立， 令，， 所以，为奇函数． 不等式，即， 即， 所以， 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以在上为增函数， 由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， （1），（4），所以，， 所以由题意可得， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 例5 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下： ，且恒成立， ，即， 当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或； 综上，时，实数的取值范围是，，． 故选：． 例6 已知函数，，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得. 例7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数，，，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【解析】令，其中，则， 因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数， 当时，，此时， 故函数在上为增函数， 因为 故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数， 所以，， ，则，即， ，则，则，即， 因此，. 故选：B. 【巩固训练】 1．若函数为偶函数，则实数= 2.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是 ． 4. 已知函数，若，则实数的取值范围__________. 5.已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 6.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7.