2022年清华大学强基校测数学试题

2022年清华大学强基计划测试数学试题 考试时间2022年6月28日 1.x&(y&2)=x&y+z,x&x=0,求2000&2022 2.a2+b2+c2+d2+e2=1,求la-l+lb-c+lc-d+d-e+le-a的最大值 3.己知复数z满足|z=1,求1(z-2)(z+1)2|的最大值 4.在复平面内，复数1终点在1十i和1十ai表示两点连成的线段上移动，z2l=1,若 z=名+2在复平面上表示的点围成的面积为π十4，则a的可能值为（) 5.已知一个空间几何体三视图如下，都为中点最大边长为2，求这个几何体可能的体积 AB C.3 D.4 6对于x∈R,fa满足+f-)=1,f=2f局)， 且对于0≤1≤x2≤1， 恒有f()≤f(),则f2022 1 7.用蓝色和红色给一排10个方格染色，则不超过（忘记是不超过还是不少于）三个相邻块 颜色相同的方法种数为() A.504 B.505 C.506 D.507 8.对于三个正整数a,b,c,有Va十b,Vb+c,√c十a为三个连续正整数，则 a2+b2+c2最小值为 9.已知a2+ab+b2=3,求a2+b2-ab的最大值和最小值 10.1im1sin2k。_1)r n-ook=in 2n 11.曲线C:(x2-y2)3=16x2y2 A.曲线C仅过(0,0)一个整点 B.曲线C上的点距原点最大距离为2 C.曲线C围成的图形面积大于4π D.曲线C为轴对称图形 12.任意四边形ABCD,AC=a,BD=i,则(AD+BC)(A店+DC)=一（用 a,6表示) 13.己知ax+by=1,ax2+by2=2,ax3+bg3=7,ax4+by4=18,则ax5+by5= 2022年清华大学强基计划校测数学试题答案 1.若x&(y&）=x&y+z,x&x=0,求2000&2022 【解析】新定义题型 x=2000 由于变量的任意性，不妨带入 y=2022,于是有 z=2022 2000&(2022&2022)=2000&0=2000&2022+2022 即2000&0=2000&2022+20221.1 [x=2000 再代入{y=2000,则有 z=2000 2000&(2000&2000)=2000&0=2000&2000+2000=2000 即2000&0=20001.2 由1.1,1.2知 2000&2022+2022=2000 因此，2000&2022=-22 2.a2+b2+c2+d2+e2=1,求la-b+b-c+lc-d+d-e+le-a的最大值. 【解析】不等式问题袁逸凡解答 对于a-≤d+b,其取等条件为a、b异号或至少其中一个为0，不妨设a20,则 b≤0，同理可得b-c≤b+c,c-d≤c+d… 当以上不等式都取等时，则有 a≥0，b≤0，c≥0，d≤0，e≥0 令a≥e,于是有 la-b+b-c+|c-d+d-e+le-a=2a-26+2c-2d =2(（a+lbl+c+d) 因为a++lc+dsa++c2+ 所以有 4 2(a|+b|+|c|+|a|)≤4，(a+b^2+c+d)=4(1-e1)≤4 因此，|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|的最大值为4. 当a=0，b=d=-2^2c=e-与时取等 3，已知复数|=1，求(z-2)(-+1)^°的最大值 【解析】复 已知1♮]|=|||，=5，则 (-2)(+1|=2|+-|1F2(+1|+1) 设T=(5-2(z+2)(++2) 令z+z=t，则T=(5-2t)(t+2)=(5-2)(t+2)(t+2) =3\sqrt{3} 当且仅当t=1，-2+i时取等 4.在复平面内，复数z_1终点在1+i和I+ai表示两点连成的线段上移动，Fa|=1，若 ：=_1+-_2在复平面上表示的点围成的面积为π+4，则a的可能值为 【解析】复数的轨迹 设21=1+ti,则1≤t≤a(a>1),22=cos0+isin0,∴. =1+cos+(t+sine)i=x+vi 因此有 (x-1)2+(y-t)2=1,1≤t≤a 如下图所示，则：在复平面上围成的面积即为粉色区域，即 S=2(a-1)+π=π+4 解得a=3 同理当a<1时，则有S=2(1-a)+π=π+4→a=-1. (1,a 6对于xeR,)满是四+1-)=1，w)=2) 对于0≤x≤x2≤1，恒 有x).则 【解析】复合函数的性质 由条件知： x)+0-)-1=9+1--1=f9月 fx)=2f}=f10)=2f0)=fo)=0, 设0ss1,则)=1-f1-)=213=1-2） 于是有 21-25+月 当%=0，则有)+0)得)2且分)月 16251 520222 因此f 11 625-1 2022162022 32 7.用蓝色和