附录2与椭圆有关的斜率之积为定值的问题-2023高考数学总复习系列课程数学攻略五——解析几何

与椭圆有关的斜率之积是定值的问题 陕西师大附中高 2016届 9班 高震 刘太和 指导教师 陕西师大附中 王全 一、问题的缘起 在复习圆锥曲线这一章时,老师给我们的练习题是按照题组的形式呈现的.老师设计的题组由易到难, 并且题目之间有着内在的联系.正因如此,我们发现了一些与椭圆有关的斜率之积为定值的特殊的结论,并 且这些结论之间有着极强的内在联系,故整理成文,与读者分享. 二、结论的证明 已知O是坐标原点, ( , )T m n 是椭圆C : 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0)a b  上不在坐标轴上的任意一点, ,A B 是椭圆 C 上不在坐标轴上的两点,曲线 1C : 2 2 2 2 1 x y m n   ,曲线 2C : 2 2 2 2 4 4 1 m x n y a b   ,椭圆C 在点 ,A B 处的切线相交 于点Q ,则有: 2 2OA OB n k k m     2 4 2 4QA QB m b k k n a    直线 AB 与曲线 1C 相切点Q 在曲线 2C 上. x y Q A B m b n O a T P 证明:设点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 0 0( , )Q x y ,则: (1) 2 2OA OB n k k m     2 4 2 4QA QB m b k k n a    . 由于椭圆C 在点 1 1( , )A x y 处的切线QA的方程为 1 1 2 2 1 x x y y a b   ,因此 2 1 2 1 QA b x k a y   . 从而可得 2 2 1 1 2 2 1 1 ( )OA QA y b x b k k x a y a       . 同理可得 2 2OB QB b k k a    . 所以,由 4 4OA OB QA QB b k k k k a     可知“ 2 2OA OB n k k m     2 4 2 4QA QB m b k k n a    ”成立. (2) 2 2OA OB n k k m    直线 AB 与曲线 1C : 2 2 2 2 1 x y m n   相切. 设直线 AB 的方程为 y kx t  ,由点 ( , )T m n 是在椭圆C 上可得 2 2 2 2 2 2a n b m a b  . 联立直线 AB 与椭圆C 的方程可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a k b x a ktx a t a b     . 则 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 , a kt a t a b x x x x a k b a k b         . 故 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) OA OB y y kx t kx t k x x kt x x t a b k b t k k x x x x x x a b a t              . 联立直线 AB 与曲线 1C 的方程可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0m k n x m ktx m t m n     . 则 2 2 2 2 2 24 ( )m n m k n t    . 从而,当 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2OA OB a b k b t n k k a b a t m       时,可得 2 2 2 2t m k n  ,即 0  . 当 0  时,可得 2 2 2 2t m k n  ,即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2OA OB a b k b t n k k a b a t m       . 所以,结论“ 2 2OA OB n k k m    直线 AB 与曲线 1C : 2 2 2 2 1 x y m n   相切”是成立的. (3) 2 2OA OB n k k m    点Q在曲线 2C 上. 由于过椭圆C 外点Q给椭圆C 所作切线的切点弦 AB 所在直线的方程为 0 0 2 2 1 x x y y a b   . 联立直线 AB 与椭圆C 的方程可得 2 2 20 0 2 2 2 2 1 ( ) x y x x y y a b a