附录1 椭圆的一组等价命题与高考试题的背景探源-2023高考数学总复习系列课程数学攻略五——解析几何

1 / 3 椭圆的一组等价命题与高考试题的背景探源 陕西师大附中高 2016届 9班 刘培 指导教师 陕西师大附中 王全 一、问题的缘起 在复习圆锥曲线这一章时，老师给我们的练习题是按照题组的形式呈现的。老师设计的题组是由易到 难的，并且题目之间是有着内在联系的，正因如此，我们发现了一些与椭圆有关的结论是等价的，而且这 些结论的推证方法有着极强的内在联系，以此为背景的高考试题也是屡见不鲜，故整理成文，与读者分享. 二、等价的命题 已知 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 是椭圆C : 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0)a b  上不在坐标轴上的两点,O 是坐标原点, P 为 线段 AB 的中点, AOB 的平分线交椭圆C 于点 E ,以 E 为圆心,以 r 为半径的圆 E 与直线 ,OA OB均相 切,点M 满足OM OA OB      ( , )R  ,则有如下等价命题: 命题 1: 2 2OA OB b k k a    点 P 在椭圆 2 2 2 2 1 2 x y a b   上. 命题 2: 2 2OA OB b k k a    直线 AB 与椭圆 2 2 2 2 1 2 x y a b   相切于点P . 命题 3: 2 2OA OB b k k a     OAB 的面积为 1 2 OABS ab  . 命题 4: 2 2OA OB b k k a     2 2 2 1 2x x a  , 2 2 2 1 2y y b  ,且 1 2 1 2 0x x y y  . 命题 5: 2 2OA OB b k k a    圆 E 的半径 2 2 ab r a b   . 命题 6: 2 2OA OB b k k a    点M 在椭圆 2 2 2 2 2 2 x y a b     上. 以上六个命题之间均是等价的，由此可衍生出来更多的结论.由于篇幅限制，我们在此只证明命题 1, 其余命题的证明留给读者自己完成. 证明:设点P 的坐标为 0 0( , )P x y ,则由题意可得: 2 2 1 1 2 2 1 x y a b   , 2 2 2 2 2 2 1 x y a b   ,且 1 2 02x x x  , 1 2 02y y y  , 2 / 3 (1)若 2 2OA OB b k k a   ,且 1 2 1 2 2 2 0 x x y y a b   . 从而有 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 1 1 0 2 x y x y x x y y a b a b a b          . 即是有 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 x x y y a b      2 2 0 0 2 2 1 2 x y a b   . 故可得: 2 2OA OB b k k a    点 P 在椭圆 2 2 2 2 1 2 x y a b   上. (2)若点P 在椭圆 2 2 2 2 1 2 x y a b   上,则 2 2 0 0 2 2 1 2 x y a b   . 从而有 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 x x y y a b     . 即是有 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2 0 x y x y x x y y x x y y a b a b a b a b           2 2OA OB b k k a    . 故可得:点P 在椭圆 2 2 2 2 1 2 x y a b   上 2 2OA OB b k k a    . 综上可知,命题 1正确. 三、考题的背景 1.【2015,上海卷,理科,21】已知椭圆 2 22 1x y  ,过坐标原点O的两条直线 1 2,l l 分别与椭圆交于点 ,A B和 ,C D ,记得到的四边形 ACBD的面积为 S . (1)设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y C x y ,用 ,A C 的坐标表示点C 到直线 1l 的距离,并证明: 1 2 2 12 | |S x y x y  ； (2)设直线 1l 与直线