05 专题四 抛物线背景-2023高考数学总复习系列课程数学攻略五——解析几何

高考复习 · 解析几何 题组归源 · 刻意练习 25 / 36 专题四：抛物线背景 题组 07：抛物线背景之位置关系 43.已知抛物线 :C 2 2y x 及两定点 (2,0), ( 2,0)A B  ,且过点 A的直线 l与抛物线C交于 ,M N 两点, (1)当直线 l与 x轴垂直时,求直线 BM 的方程； (2)求证: ABM ABN   . 44.已知 ,E F 是抛物线 2 8y x 上的两动点, (2, 4)A 为抛物线上的一定点,若直线 AE与 AF 的倾斜角互 补,求证:直线 EF 的斜率为定值. 高考复习 · 解析几何 题组归源 · 刻意练习 26 / 36 45.已知曲线C上任意一点P到直线 1x  与到点 ( 1,0)F  的距离相等. (1)求曲线C的方程； (2)设直线 y x b  与曲线C交于 ,A B两点,问:在直线 : 2l y  上是否存在与 b无关的定点M ,使得 直线 l平分 AMB ？若存在,求点M 的坐标；若不存在,请说明理由. 46.设直线 : ( ) 2 pl y k x  与抛物线 2: 2C y px ( 0)p  交于不同的 ,M N两点, (1)当 1 2 k  时, | | 4 15MN  ,求抛物线C的标准方程； (2)对(1)中的抛物线C和定点 (1 1)A ， ,直线MA交抛物线C于另一点Q ,求证:直线 NQ过定点. 高考复习 · 解析几何 题组归源 · 刻意练习 27 / 36 题组 08：抛物线背景之数量关系 47.在直角坐标系 xOy中,曲线 2 2y x mx   与 x轴交于 A , B两点,点C的坐标为 (0,1)．当m变化时, 解答下列问题: (1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由； (2)证明:过 A , B ,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值． 48.已知抛物线C : 2 2y x 的焦点为 F ,平行于 x轴的两条直线 1 2,l l 分别交抛物线C于 ,A B两点,交抛物 线C的准线于 ,P Q两点． (1)若 F 在线段 AB上, R是线段 PQ的中点,求证: AR FQ∥ ； (2)若 FPQ 的面积是 FAB 的面积的两倍,求 AB中点的轨迹方程． 高考复习 · 解析几何 题组归源 · 刻意练习 28 / 36 49.已知点P在直线 2y x  上运动,过 P点作抛物线 2 2x y 的切线,切点分别为 ,A B . (1)求证:直线 AB过定点； (2)求 PAB 面积 S的最小值,以及相应的 P点坐标. 50.设 , ,A B C 是抛物线 2 4y x 上不同的三点,点 A与坐标原点O不重合,且直线 AB过定点 (1,0)M ,直 线 AC过定点 (6,0)N , (1)求证:存在实数 ,使得 ( )OA OB OC     ,并求的值； (2)设OD OB OC     ,求证:存在非零实数 ,使得点D在抛物线上,并求的值. 高考复习 · 解析几何 题组归源 · 刻意练习 29 / 36 题组 09：抛物线背景之非对称问题 51.设 ,A B是以 F 为焦点的抛物线 2 4y x 上的两点,且 3AF FB   ,求弦 AB的中点到准线的距离. 52.已知抛物线 2: 2C y px 过点 (1, 2)P ,过 (0,1)Q 点的直线 l交抛物线C于不同的两点 ,A B ,且直线PA 交 y轴于点M ,直线PB交 y轴于点 N , (1)求直线 l的斜率的取值范围； (2)设O为坐标原点,且QM QO   ,QN QO   ,求证: 1 1    为定值.