考点3-2 导数应用：单调性、极值与最值-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点02练 导数应用：单调性、极值与最值 1．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】 ， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 2．（2022·全国·高三专题练习）函数（）的单调递增区间是（       ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】 求导可得，求即可得解. 【详解】 （）， 令，解得， 故在上单调递增， 故选：B． 3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解. 【详解】 如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为， 根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反， 可得为函数的极大值点，为函数的极小值点， 所以函数极值点的个数为4个. 故选：C. 4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________． 【答案】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可． 【详解】 由题意可知，， ，． 当时，， 函数在区间上单调递增，则． 故答案为： 5．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】 由有两个不相等的实数根求得的取值范围. 【详解】 ， 由于函数有三个单调区间， 所以有两个不相等的实数根，所以. 故答案为： 6.（2022全国·高三专题练习）已知是函数的一个极值点，则的值是（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以. 【详解】 ， ∴，∴， ∴ 故选：D 7．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】 若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 8．（2023·全国·高三专题练习）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意； 当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得， 若时，当时，可得，在上单调递减， 此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点， 画出函数与的图象，如图所示， 结合图象，可得存在，使得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意， 综上可得，实数a的取值范围是.故选：A. 9.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______. 【答案】1 【分析】 由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】 由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 10．（2021·四川成都·高三阶段练习（文））已知，且，则的最大值为_______． 【答案】## 【分析】 利用对数的运算解方程，得关系，代入，然后构造函数，利用导数求最值. 【详解】 解：，即，即， 解得或，即或（舍，）， 将代入得， 设， 则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，即时，函数取最大值 . 故答案为：. 11．（2012·全国·高考真题（理））设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x