专题10 空间几何体的表面积与体积-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题10 空间几何体的表面积与体积-备战2023年高考数学母题题源解密 （全国通用） 考向一 空间几何体的体积 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【试题解析】由三视图还原几何体，如图， 则该直四棱柱的体积. 故选：B. 【命题意图】本题考查由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现．试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）空间几何体的三视图；（2）空间几何体的表面积；（3）空间几何体的体积； 【得分要点】 （1）根据三视图正确还原立体图形； （2）由空间几何体的表面积、体积公式求解； 考向二 空间几何体的表面积 【母题来源】2022年高考全国II卷 【母题题文】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【试题解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 【命题意图】本题考查求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空和解答题的形式出现．试题难度不大，多为中档题，主要考查学生的空间想象能力，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1）空间几何体的外接球表面积；（2）空间几何体的外接球体积； 【得分要点】 （1）找到空间几何体外接球半径的求法； （2）正确写出球的表面积、体积公式； 一、单选题 1．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高（       ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图还原出原几何体，确定其结构，然后根据体积公式计算可得． 【详解】 由三视图还原出原几何体为三棱锥，如图所示， 结合三视图得该三棱锥体积为：，所以. 故选：B. 2．（2022·湖北·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，再求出顶点到底面的距离，分析出球心，进而得到外接球半径，再利用公式求解即可 【详解】 设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为， 所以顶点到底面圆圆心的距离为：， 所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为， 所以. 故选：A. 3．（2022·浙江·三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（       ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 从三视图可以得到直观图为直六棱柱，分别求出直六棱柱的底面积和高，由体积公式即可得出答案. 【详解】 从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示， 在俯视图中，可以求出底面积为，从正视图和侧视图可知直六棱柱的高为1，所以该几何体的体积是. 故选：C. 4．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用外接球和三棱锥的关系求出球的半径，计算即可. 【详解】 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示： 取BC的中点D，点H为底面的中心，所以 设外接球的半径为R，所以， 利用勾股定理可得，解得 则球的表面积为 故选：B. 5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解. 【详解】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得， 解得，又，则，． 故选：B. 6．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面