专题07 计数原理（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）

专题07 计数原理-备战2023年高考数学母题题源解密（理科）（全国通用） 考向一 排列与组合 【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科） 【母题题文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【试题解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 【命题意图】本题主要考查利用捆绑法和插空法求出排列总数，利用排列组合与计数原理即可得解.. 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，题型多样，思路灵活，试题难度较大，是历年高考的必考题型． 常见的命题角度有： （1）捆绑法；（2）插空法；（3）排列求幂法；（4）标号排位法. 【得分要点】 （1）有限制条件的可以采用特殊位置优先安排的方法； （2）要求几个元素必须在一起的，可以采用捆绑法； （3）要求元素不相离的，可以采用插空法 考向二 二项式定理 【母题来源】2021年高考北京卷 【母题题文】若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【试题解析】令，则， 令，则，故，故选：B. 【命题意图】利用赋值法求二项式的参数值. 【命题方向】这类试题在通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有： （1） 求二项式展开式中的某一项或几项的系数；（2）二项式的性质和各系数的和；（3）利用二项式定理的性质求参数. 【得分要点】 (1) 首先求二项式展开的通项； (2) 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数； (3) 得出结论. 一、单选题 1．（2022·全国·模拟预测）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（       ） A．48种 B．72种 C．90种 D．144种 【答案】D 【解析】 【分析】 依题可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步计数原理即可解出． 【详解】 由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种． 故选：D． 2．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（       ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【解析】 【分析】 分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解 【详解】 显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论． 最大数为5的情况： ①，此时共有种情况；最大数为4的情况： ②，此时共有种情况； ③，此时共有种情况． 当最大数为3时，，故没有满足题意的情况． 综上，满足条件的有序数组的个数是．故选：A 3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（       ） A．17 B．29 C．56 D．13 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数. 【详解】 由题意，任意安排的方法数有种， 甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种， 甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种， 所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种. 故选：A 4．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（       ）场次． A．53 B．52 C．51 D．50 【答案】C 【解析】 【分析】 分单循环赛和淘汰赛：单循环赛共需要场比赛，淘汰