第09讲 解一元二次方程-公式法与因式分解法-【暑假精品课堂】2022年新九年级数学暑假同步课（北师大版）

第09讲 解一元二次方程-公式法与因式分解法 一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例1．小丽同学想用公式法解方程，你认为a，b，c的值应分别为（ ） A．，3， B．，3，1 C．，，1 D．1，， 例2．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ） A． B． C． D． 例3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（ ） A． B． C． D． 例4．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于(        ) A．3                                          B．2                                          C．1                                          D． 例5．方程的根是（ ） A． B． C． D． 例6．方程的根是（ ） A． B．或 C． D．或 例7．下列方程中适合用因式分解法解的是（ ） A． B． C． D． 例8．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ） A．∵，∴或 B．∵，∴或 C．∵，∴或 D．∵，∴ 例9．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（ ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 例10．已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（ ）. A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5 例11．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（ ）． A．1； B．2； C．3； D．4． 例12．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（　　） A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 例13．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ） A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2 一、单选题 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 2． 是下列哪个一元二次方程的根（       ） A． B． C． D． 3．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（