第07讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例1】（2022春•岳麓区校级期末）一元二次方程的求根公式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•垦利区模拟）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•榕江县校级一模）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　　． 【变式3】（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 【变式4】（2024•辽宁模拟）（1）计算：； （2）解方程：． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例2】（2024•谯城区二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　 　 【变式1】（2024•郸城县二模）一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（2024•潮南区一模）已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值． 【变式3】（2024•任城区模拟）已知关于的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值 　　． 【变式4】（2024•萧山区二模）已知关于的方程． （1）若方程的一个实根是3．求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 经典题型汇编 题型一.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 题型二.根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是 . 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有． (1)已知，y的最小值为______； (2)已知，的最大值为______； (3)x，y都是正数，，求的最小值． 题型三.公式法解一元二次方程 7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）定义新运算，规定．方程的解为 ． 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·广东惠州·期中）判别方程的根的情况（　　） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 2．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不确定 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 6．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 8．（23-24九年级上·福建厦门·期中）用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 9．（2023·山东青岛·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如是的“亲密多项式”，，是的“亲密多项式”；以下说法正确的个数有（    ） ①若两个二项式和为0，则他们互为“亲密多项式” ②的“亲密多项式”一共有5个 ③的所有“亲密多项式”的和为 ④若关于的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”） 12．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 13．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ． 14．（2015·江苏南通·二模）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 15．（2020·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 17．（23-24九年级上·福建厦门·期末）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 18．（23-24九年级上·广西来宾·期末）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于图中线段 的长． 三、解答题 19．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 关于的一元二次方程有两个实数根．求的取值范围． 20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 22．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）判断关于的方程的根的情况． 23．（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 (1) (2) 24．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 25．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）解方程 (1)x2﹣3x﹣2＝0 (2) (3)先化简，再求值：，其中． 26．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例1】（2022春•岳麓区校级期末）一元二次方程的求根公式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据求根公式即可求出答案． 【解答】解：一元二次方程的求根公式是， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用求根公式，本题属于基础题型． 【变式1】（2024•垦利区模拟）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据在△的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【解答】解：，，， △时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：． 【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2024•榕江县校级一模）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　　． 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：，，， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 【分析】利用题中的新定义得到关于的一元二次方程，然后解方程即可求出的值． 【解答】解：根据题意知：， ， △， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了解一元二次方程，理清新定义是解答本题的关键． 【变式4】（2024•辽宁模拟）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）先计算乘方、除法、去绝对值符号、化简二次根式，再计算加减即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2），，， △， 则，即，． 【点评】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例2】（2024•谯城区二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　且　 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 故答案为且． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【变式1】（2024•郸城县二模）一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】根据方程找出对应的、、，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【解答】解：，，， △， △， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式△及相应结果是解题关键． 【变式2】（2024•潮南区一模）已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．当是等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，由此可证出：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由△可知，代入可求出的值，将值代入原方程，解方程可得出、的长度，由三角形的三边关系可确定两个值均符合题意，此题得解． 【解答】（1）证明：△， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：△， ， 、中有一个数为5． 将代入原方程，得：，即， 解得：，． 当时，原方程为， ，． 、5、5能围成等腰三角形， 符合题意； 当时，原方程为， 解得：，． 、5、6能围成等腰三角形， 符合题意． 综上所述：的值为4或5． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入求出值． 【变式3】（2024•任城区模拟）已知关于的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值 　1.2　． 【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数． 【解答】解：关于方程的有两个实数根， ， 解得：且． 故答案为：1.2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 【变式4】（2024•萧山区二模）已知关于的方程． （1）若方程的一个实根是3．求实数的值． （2）求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【分析】（1）将代入列出关于的方程，解关于的方程求得的值； （2）若方程有相等的实数根，则应有△，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况； 【解答】（1）解：当时，． 解得， 的值为1． （2）证明：△， 无论实数取何值，方程总有实数根． 【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 经典题型汇编 题型一.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，直接根的判别式对四个选项逐一进行判断． 【详解】解：A、中，，故方程有两个不相等的实数根； B、中，，故方程有两个不相等的实数根； C、变形为，则，故方程有两个不相等的实数根； D、中，，故方程无实数根． 故选：D． 2．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】方程无实数根 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其值，判定方程解的情况． 根据方程组的解是，代入求出，即可确定一元二次方程，再根据根判别式即可求解． 【详解】解：方程组的解是， 代入即得：， 解得：， 此时方程即为， 其中，，， ， 故方程无实数根． 题型二.根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得且， 故选：． 5．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指， 根据题目意思可知，解即可求，从而易知应取的最大值是． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故的最大整数值是． 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有． (1)已知，y的最小值为______； (2)已知，的最大值为______； (3)x，y都是正数，，求的最小值． 【答案】(1)7 (2)3 (3)的最小值为11 【分析】（1）把原式变形为，再利用题干所给不等式变形即可； （2）由得，代入，利用配方法求解即可； （3）设，则，代入并整理得：，利用根的判别式得，然后转化为一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）， ∵，则， ∴， 故答案为：7； （2）∵，则， 则， 故答案为：3； （3）设，则， 将y的表达式代入并整理得：， 则， 整理得，， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， 故的最小值为11． 【点睛】本题考查了不等式的性质，配方法的应用，一元二次方程根的判别式，以及求不等式组的解集，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 题型三.公式法解一元二次方程 7．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）定义新运算，规定．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义和解分式方程，已知方程利用题中的新定义，得，化简，计算求出解即可．熟练掌握分式方程的解法是关键． 【详解】解：因为，， ∴ 去分母，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 故方程的解为． 故答案为： 9．（23-24九年级上·河南许昌·期末）解方程：       用配方法解方程： (1)； (2)； 用公式法解方程： (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即，解得， ，； （2）解：， ， ，即，解得， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·广东惠州·期中）判别方程的根的情况（　　） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出，即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 3．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题意，先由错误情况下的判别式得到，再计算原方程的判别式即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 【详解】解：嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根， ，即， 原方程的判别式，即原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数的图像．熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据一次函数的图象得，，再计算根的判别式的值的范围，从而得到方程根的情况． 【详解】解：由图象可得：，， 即：， ， 而， ∴ ∴， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 6．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组是解题的关键． 利用二次项系数为非零数及根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：且． 故选：D． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转到线段，若点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，一元二次方程的解法，先证明，设，再建立方程组解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， ∴， ∴， 解得：，（经检验负根舍去）； 故选A 8．（23-24九年级上·福建厦门·期中）用公式法解一元二次方程的步骤排序正确的是（　　） ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ④计算出根的判别式的值． A．①②③④ B．④②①③ C．②④③① D．③①④② 【答案】C 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据用公式法解一元二次方程的步骤排序即可． 【详解】用公式法解一元二次方程的步骤为： ②将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． ④计算出根的判别式的值． ③根据的值判断一元二次方程根的情况． ①如果，代入求根公式求出方程的根；如果，没有实数根． 即顺序为：②④③①， 故选：C． 9．（2023·山东青岛·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当，一元二次方程有两个不相等的实根，当，一元二次方程有两个相等的实根，当，一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．利用根的判别式逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴方程没有实数根，选项B不符合题意； C．， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意； D．原方程化为一般形式为． ∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，选项D符合题意． 故选：D． 10．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如是的“亲密多项式”，，是的“亲密多项式”；以下说法正确的个数有（    ） ①若两个二项式和为0，则他们互为“亲密多项式” ②的“亲密多项式”一共有5个 ③的所有“亲密多项式”的和为 ④若关于的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了对“亲密多项式”的理解，合并同类项法则，一元二次方程根的判别式，解题关键是理解“亲密多项式”的定义，并运用相关知识解决问题．根据题目中“亲密多项式”的定义，运用多项式和一元二次方程根的判别式的相关知识即可得解． 【详解】解：①二项式与的和为0，根据已知它们不是“亲密多项式”，故①错误； ②的“亲密多项式”有，，，，共5个，故②正确； ③的“亲密多项式”有：，，，，它们的和为，故③错误； ④方程有解，但是无解，根据已知与互为“亲密多项式”，故④错误． 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二次方程()的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即得解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：> 12．（23-24九年级上·青海果洛·期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14．（2015·江苏南通·二模）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据，说明一元二次方程有实数根，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得 故答案为： 15．（2020·四川内江·三模）已知，，则的值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式，并注意进行分类讨论． 【详解】解：依题意得a，b是方程的解， 解得：，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 16．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·福建厦门·期末）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键．根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 18．（23-24九年级上·广西来宾·期末）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于图中线段 的长． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的加减运算，用公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先根据勾股定理求得，进一步推得，另一方面，根据求根公式解方程得，，所以的长就是方程的正根． 【详解】，，， ， ， 方程（，），用求根公式求得， ，， 的长就是方程的正根． 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习） 关于的一元二次方程有两个实数根．求的取值范围． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴． 20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程，p为实数． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)0，，（符合条件的三个都可以） 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键； （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）要使方程有整数解，那么x＝为整数即可，于是p可取0，，时，方程有整数解． 【详解】（1） 证明：∵， 原方程可化为， ∵， ∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 原方程可化为， ∵方程有整数解， ∴为整数即可， ∴当为奇数即可， ∴p可取0，，方程有整数解． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 22．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）判断关于的方程的根的情况． 【答案】当或或时，方程有一个实数根；当且或时，方程有两个实数根；当时，方程没有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．分两种情况：当，即时；当，即时；分别讨论即可得出答案． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：，此时方程有一个根， 当，即时，原方程变形为， 故， 当，即且或时，方程有两个实数根， 当，即或时，方程有一个实数根， 当，即时，方程没有实数根， 综上所述，当或或时，方程有一个实数根；当且或时，方程有两个实数根；当时，方程没有实数根． 23．（23-24九年级上·天津宁河·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 24．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的判别式，正确求出一般形式和根的判别式是解题的关键． （1）把方程右边的项移项到左边，即可得到答案； （2）列出方程根的判别式，根据判别式的范围即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即关于x的一元二次方程的一般形式为； （2）对于来说， ， ∵， ∴， ∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根 25．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）解方程 (1)x2﹣3x﹣2＝0 (2) (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，分式的化简求值，掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用配方法接一元二次方程即可； （3）先把括号内的分式进行通分，然后运算除法进行化简，最后根据非负性求出，b的值代入计算． 【详解】（1）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解： ， ，； （3） ， ∵， ∴， 解得：， ∴原式． 26．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)没有验证是否符合题意 (2)见解析 【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根， （2）将代入验证，即可求解， 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【详解】（1）解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根， 故答案为：没有验证是否符合题意， （2）解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 当时，代入，得：，， 不符合题意，舍去， 当时，代入，得：，解得：，， 符合题意， 所以的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$