考向06 函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）

考向06 函数的奇偶性与周期性、对称性 1. （2022年北京卷第4题）己知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，故A错误，C正确； ，不常数，故BD错误； 故选：C． 2. （2022年 新高考2卷第8题）若函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 3．（2022年甲卷理第5题）函数在区间的图像大致为 【答案】A 【解析】设，，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A. 4．（2022年乙卷第12题）已知函数，的定义域均为,且，. 若的图像关于直线对称，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若的图像关于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，，得，所以，故，周期为.由，得，又，所以 . 1.函数具有奇偶性包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数． 2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　 3.函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此． 【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 1．函数f(x)＝x＋(x≠0)是(　　) A．奇函数，且在(0，3)上是增函数 B．奇函数，且在(0，3)上是减函数 C．偶函数，且在(0，3)上是增函数 D．偶函数，且在(0，3)上是减函数 2.已知函数f(x)＝cos＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 3．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　) A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x) 4.在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 5．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x2　　　 B．y＝|x－1| C．y＝|x|－1 D．y＝2x 6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈［0，4］时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝　　　　. 7.已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)