高一数学暑期精彩10讲第10讲(2022年新高二使用含详解)

第10讲 不等式 1．“三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表． △＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2．解一元二次不等式的步骤 (1)化标：化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(其中a＞0)； (2)判断：计算△＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)求根：有根求根； (4)写解：根据图象写出不等式的解集(小于之间，大于之外)． 3．一般的分式不等式的同解变形法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．高次不等式的解法(穿针引线法) 系数化正，依次标根，右上穿下，奇穿偶绕，写出解集． 例如：解不等式x(x－1)2(2－x)(1＋x)≤0，先化为：x(x－1)2(x－2)(x＋1)≥0，然后穿针引线得出上图，故该不等式的解集为[－1，0]∪{1}∪[2，＋∞)． 5．线性规划 (1)确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点(或符 号)定域”的方法． (2)求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过 可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大． (3)也可用顶点法求解，直接联立求交点时要检验． 6．基本不等式 (1)基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0． 等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数． (2)几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． ＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． ab≤2≤，当且仅当a＝b时取等号． ≤≤≤(a＞0，b＞0)． 7．利用