第11章 正弦定理和余弦定理（解三角形）知识点+典型例题+自我训练-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第11章 解三角形 模块一：自主学习 回归教材 知识清单 知识点一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理． 知识点二　正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 知识点三　正弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两边及夹角或两边及一边对角的问题，求其它边或角；②已知三边问题，求三边。 知识点四　正弦定理的变形 R为△ABC外接圆的半径 1．sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 2.＝＝＝＝2R. 3．a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 4．sin A＝，sin B＝，sin C＝. 知识点五：三角形面积公式：S△ABC＝absin C=bcsin A=acsin B 自我体验 一：单选题 1.已知在中，，，，则c等于（ ） A． B． C． D．5 【解析】在中,,,,由余弦定理得, 所以.故选:A 2.在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】中设, 由余弦定理可得. 因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,故选:B. 3.在中，若，，，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即， 又由，且，所以或，故选：D. 4.在中，若，则角的值为（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】，即，所以故选：B 5.在中，角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，又因为，所以，故选：B 6.在中，，，则一定是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】中，，, 故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D. 7.在中，若，则是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】将，利用正弦定理化简得：， 把代入得：， 整理得：，即或， ，为三角形内角，，，即，则为直角三角形，故选：A. 8．在△中，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】　A 【解析】因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理，得cos B＝＝＝，又0°<B<180°，所以B＝45°. 10.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝， ∵AB<AC，∴C<B，∴cos C＝＝. 11.在中，已知，，，则 ； 【答案】 【解析】，，，， 12.（必修第二册书94页）在中，若，，则 【答案】 【解析】 13.（必修第二册书87页）在中，已知，则 ； 【答案】 【解析】由题知，，， 14、在中，若，则 ； 【答案】 【解析】 15.在中，若，则= ； 【答案】或 【解析】或 当时，， 当时，， 16.边长为的三角形的外接圆半径为 ； 【答案】 【解析】设，则， 模块二：要点导学 各个击破 典例评析 【例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，cos