高一数学暑期精彩10讲第2讲(2022年新高二使用含详解)

第2讲　平面向量的数量积 1．平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角． ②当θ＝0°时，a与b共线同向；当θ＝180°时，a与b共线反向； 当θ＝90°时，a与b互相垂直． (2)向量的数量积 定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0． (3)数量积的几何意义：|a|与b在a的方向上的射影|b|cosθ的乘积． 2．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ 数量积 a•b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 向量的模 |a|＝ 两点距离 A(x1，y1)，B(x2，y2)，||＝ 向量的夹角 cos θ＝＝ 向量的投影 向量a在b方向上的射影为|a|cos θ＝＝ 柯西不等式 |a•b|≤|a||b|，即：(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)， 当且仅当a∥b即：x1y2＝x2y1时，取等号 3．两个易错点 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 4．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 5．极化恒等式 (1)设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] (2)极化恒等式的几何意义：a·b＝(|AC|2－|BD|2)． (3)极化恒等式的三角形模式：在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝|AM|2－|BM|2． 6．解决向量数量积的运算问题的五个思路 (1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解． (2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算． (3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (4)利用几何意义求解． (5)利用极化恒等式求解． 考点一　向量数量积的