《如何学会解题》第一部分基本运算专题五---可按步骤进行运算的典型题

五 可按步骤进行运算的典型题 1 、判断函数奇偶性的步骤： （1）先判定函数定义域是否关于原点对称 （2）验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立 本题可以用定义进行计算验证（略）， 但需要进行变形且不易发现。 本题用此法真正体现了考试大纲的精神即根据对数运算法则进行运算，能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径。 2 用导数法讨论函数的单调性的步骤： （1） 确定定义域； （2） 求导变形(通分、分解因式）； （3） 解导数方程f′(x)＝0； （4） 若方程有根则用根划分定义域区间； （5） 判断相应区间对应的导数正负；+ （6） 作结论，写出单调区间. 例2 求函数的单调区间 3．利用导数研究函数极值的一般步骤 (1)确定函数定义域； (2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根； (3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值． 例3 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 解析：因为f(x)＝x2－1－2aln x(x＞0)， 所以f′(x)＝2x－＝. ①当a＜0时，因为x＞0，且x2－a＞0，所以f′(x)＞0对x＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值． ②当a＞0时，令f′(x)＝0， 解得x1＝，x2＝－(舍去)， 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a，无极大值． 综上，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值． 4 求曲线上一点处的切线方程 （1）求导数 （2）把切点横坐标代入导函数得切线斜率 （3）用点斜式方程写出切线方程 例4 (2021·全国甲卷13)曲线在点处的切线方程为　　． 【思路分析】先求导，利用导数的几何意义可求