《如何学会解题》第一部分基本运算专题三 不等式及不等式组

三、不等式和不等式组 1、一元一次不等式组 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形. 用语言简单表述为： 大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小是空集 2、一元二次不等式的解集（与相应的二次函数及一元二次方程的关系） 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 说明 :遇到二次系数是负数的可化成正数 例 已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(　　) A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3} 分析：求解一元二次不等式的基本步骤： 第一步，看二次项系数是否为正数，不是的化为正数； 第二步，解相应的一元二次方程； 第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于取两边，小于取中间”得不等式的解集． 若一元二次方程无根或者有一根可以借助一元二次函数图象写出其解集。 解析： ∵A＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|(x＋1)(x－4)＜0}＝{x|－1＜x＜4}，B＝{－4,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}． 2、 分式不等式 例1 解不等式0 解析：不等式0⇔ －<x1，则不等式的解集为 3、 指数不等式 例2 解不等式 解  原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解集为 指数函数的单调性是解指数不等式的重要依据 4、 对数不等式与不等式组 例3  解不等式logx+1(x2-x-2)＞1 原不等式等价于logx+1(x2-x-2)＞logx+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 解这类对数不等式时，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论,不等式组的解集就是各个不等式解集的交集(不断地缩小范围). 例4 函数的定义域为 A． B． C． D． 解故选B． 例5