精品解析：2022年北京大学强基计划笔试数学试题

2022年北京大学强基计划笔试数学试题 备注：数学一共20道题目 1. 已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________. 2. 已知凸四边形满足，则符合题意且不相似的凸四边形的个数为___________. 3. 已知正整数不超过2022且满足100整除，则这样的的个数为___________. 4. 已知表示不超过的整数，如.已知，则（ ） A. 321 B. 322 C. 323 D. 以上都不对 5. 已知六位数，满足，则所有满足条件的六位数之和为___________.不必为三位数） 6. 已知整数满足，则的正整数取值个数为___________. 7. 已知凸四边形满足：，则其内切圆半径取值范围为___________. 8. 已知，当最小时，___________. 9. 已知复数，满足与实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________. 10. 在中，，其外接圆半径，且，则___________. 11. 在梯形中，在边上，有，则取值范围为___________. 12. 已知，则该方程所有实根个数与所有实根乘积比值为___________. 13. 若为十进制数，，记.已知，则各位数字的平方和___________200（横线上填大于，小于或等于）. 14. 已知数列满足，则最接近的整数为___________. 15. 已知是二次函数，，且，则___________. 16. 已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能数列的个数为___________. 17. 将不大于12正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种. 18. 已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________. 19. 若三边长为等差数列，则的取值范围是___________. 20. 内接于椭圆菱形周长的最大值和最小值之和是（ ） A. B. C. D. 上述三个选项都不对 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年北京大学强基计划笔试数学试题 备注：数学一共20道题目 1. 已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意整理可得：，构建佩尔方程，先结合题意得，再根据广义佩尔方程通解可得，再根据特征方程可得二阶线性递推公式，代入检验判断． 【详解】设 化简得到，即， 由于为佩尔方程的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解， 对其任意一组解，由于，所以为被3整除的正奇数. 则，知这样的均为正整数. 由于，知，所以， 为佩尔方程的基本解 由佩尔方程的通解知， 由特征方程知其所对应的递推公式为，得， 因此仅满足条件，此时. 所以这样的为1个. 故答案为：1． 2. 已知凸四边形满足，则符合题意且不相似的凸四边形的个数为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先说明凸四边形是平行四边形，然后设对角线中点为,固定对角线，则点在固定的射线上，只需求出该射线上满足的点个数即可.由此借助圆幂定理以及正弦定理进行说明，可得到结论. 【详解】对凸四边形，由，有; 由，有,故四边形为平行四边形. 如图，设对角线中点为,下面固定对角线，则点在固定的射线上， 只需求出该射线上满足的点个数即可. 记过且与射线相切的圆为（这样的圆存在且唯一），切点为， 由圆幂定理知,从而. 首先说明. 该结论等价于，即. 设，知.在中， 由正弦定理，，即， 注意到，所以，且当时等号不成立， 故，结论得证. 则射线上在的左右两侧各有一个满足的点， 故满足条件的形状不同的凸四边形有两个， 故答案为：2. 3. 已知正整数不超过2022且满足100整除，则这样的的个数为___________. 【答案】20 【解析】 【分析】由题意可得，进而得到，所以设，则，从而得，设，则，然后利用欧拉定理可求得结果 【详解】解：由于，所以. 显然，所以，所以，进而得到. 设， 则，由于，所以，即. 设，则. 则 由欧拉定理，，所以. 进而得到. 所以，所以. 因此这样的有20个. 故答案为：20 4. 已知表示不超过的整数，如.已知，则（ ） A. 321 B. 322 C. 323 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】记，则由其所对应的特征根方程知数列满足，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解 【详解】记， 则由其所对应的特征根方程知数列满足且， 依次可得， 而，所以， 所以， 所以. 故选：A 5. 已知六位数，满足，则所有满足条件的六位数之和为___________.不必为三位数） 【答案】20